三相誘導電動機の特性

2021年3月8日2024年8月25日

　誘導電動機として広く使用される、三相誘導電動機の各種特性についてまとめます。重要単元です。その他の誘導電動機の種類等についてはこちらのページにまとめます。

　三相誘導電動機で固定子巻線に電流が流れると回転磁界が生じ、これが回転子巻線を切るので回転子巻線に起電力が誘導され、この起電力によって回転子巻線に電流が流れることでトルクが生じる。この回転子巻線の電流によって生じる起電力を打ち消すように固定子巻線に電流が流れる。
　回転子が停止しているときは、固定子巻線に流れる電流によって生じる回転磁界は、固定子巻線を切るのと同じ速さで回転子巻線を切る。このことは原理的に変圧器と同じであり、固定子巻線は変圧器の一次巻線に相当し、回転子巻線は二次巻線に相当する。回転子巻線の各相には変圧器と同様に二次誘導起電力を生じる。
　回転子が回転しているときは、電動機の滑りを s とすると、二次誘導起電力の大きさは、回転子が停止しているときの s 倍となる。

三相誘導電動機の基本特性

　巻線形三相誘導電動機の二次端子を開放した状態で、一次巻線に一定周波数$f_1$の三相正弦波交流電圧を印加すると、励磁電流は流れるが、二次電流が流れないので回転子は回転しない。二次端子を短絡すると二次電流が流れ、これと一次電流により発生する回転磁界とによって、回転子にトルクが発生し、回転子は回転し始める。
　回転子が滑り$s$で回転している場合、同期速度を$n_0$とすれば回転子の回転速度は$(1-s)n_0$で表され、このとき、二次巻線に発生する起電力の周波数は$sf_1$である。
　回転子に負荷を接続し、その負荷を増大させると回転速度は低下する。すなわち、滑りは増加することになり二次巻線に発生する起電力が大きくなる。その結果、二次電流が増加し、負荷トルクと平衡するだけの大きさのトルクを発生する。

電験２種過去問【2017年機械問5】（三相誘導電動機の基本特性）

三相誘導電動機の同期回転速度

三相誘導電動機の同期回転速度ｎ_s[min^-1]は、電源の周波数をf[Hz]、極数をpとすると次式で与えられる。

$$n_s= \frac{120f}{p}　[min^{-1}]$$

三相誘導電動機の滑り

誘導電動機の同期回転速度ｎ_s[min^-1]と回転子速度ｎ[min^-1]が同じであると、回転子に対して磁束は動いていないことになる。つまり、誘導電動機を回転させるためのトルクも生じない。実際の誘導電動機では同期回転速度ｎ_s[min^-1]よりも回転子の回転速度ｎ[min^-1]は遅くなる。ｎ_sに対するｎ_sとｎの差は滑りとよばれｓで表される。

$$s= \frac{同期速度-回転速度}{同期速度}= \frac{n_s-n}{n_s}$$

三相誘導電動機の回転数

すべりをｓとすると、電動機の回転速度ｎ[min^-1]は、

$$n=n_s(1-s)= \frac{120f}{p}(1-s)　[min^{-1}]$$

電動機の速度制御

電験３種過去問【2019年機械問4】（誘導電動機の速度制御）

三相誘導電動機の簡易等価回路

　図は、三相誘導電動機の1相分のL形等価回路である。ただし、$r_1$は一次巻線抵抗、$r_2’$は二次巻線抵抗の一次換算値、$x_1$は一次漏れリアクタンス、$x_2’$は二次漏れリアクタンスの一次換算値、$b_0及びg_0$は励磁サセプタンス及び励磁コンダクタンスである。三相交流電源の相電圧の実効値を$V_1$、フェーザを$\dot{V_1}$とする。また、滑りを$s$とし、漏れリアクタンスの和を$X=x_1+x_2’$とする。
電動機を交流電源に接続すると、励磁電流は$\dot{I_0}=\dot{Y}\dot{V_1}$となり、アドミタンス$\dot{Y}=g_0-jb_0$であるので

$\dot{I_0}=(g_0-jb_0)\dot{V_1}$となる。

　$\dot{I_0}$による損失は$g_0$を流れる電流となるので

鉄損$W_i=3g_0V_1^2$である。

機械損$W_m$を無視すると、機械的出力（軸出力）$P_o$は、二次出力$P_{o2}$と等しいので、
$P_o=P_{o2}=\displaystyle 3I_1’^2\frac{1-s}{s}r_2’$である。

ここで、

$\displaystyle I_1’=\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1+r_2’+\frac{1-s}{s}r_2’\right)^2+\left(x_1+x_2’\right)^2}}$

$\displaystyle =\frac{V_1}{\sqrt{\left(r_1+\frac{r_2′}{s}\right)^2+X^2}}$

であるので、

$P_o=\displaystyle\frac{3\frac{1-s}{s}r_2’V_1^2}{\left(r_1+\frac{r_2′}{s}\right)^2+X^2}$である。

一方、$r_1及びr_2’$に生じる損失は$W_c=3I_1’^2(r_1+r_2′)$であるので、

$W_c=\displaystyle\frac{3(r_1+r_2′)V_1^2}{\left(r_1+\frac{r_2′}{s}\right)^2+X^2}$となる。

ここで、機械損$W_m$を考慮すると、電動機の効率は
$\displaystyle\frac{P_{o2}-W_m}{P_{o2}+W_i+W_c}$となる。

二次出力$P_{o2}$及び機械出力（軸出力）$P_{o}$、機械損$P_{m}$は次の関係となる。
$$P_{o}=P_{o2}-P_{m}$$

一次負荷電流I₁‘=I₂/α（二次電流I₂、一次巻線と二次巻線の巻数比α）

二次銅損　$$P_{c2}=I_1’^2 r_2’=sP_2　[W]$$

二次入力　$$P_{2}=P_{c2}+P_{o}= \frac{P_o}{1-s}=I_1’^2 \frac{r_2′}{s}　[W]$$

二次出力　$$P_{o2}=I_1’^2 R’=I_1’^2 \left( \frac{1-s}{s} \right) r_2’=(1-s)P_{2}　[W]$$

二次入力$P_2$と二次出力$P_{o2}$及び二次銅損$P_{c2}$の比は次の関係となる。

$$P_{2}：P_{o2}：P_{c2}=P_{2}：(1-s)P_{2}：sP_2$$すなわち
$$P_{2}：P_{o2}：P_{c2}=1：(1-s)：s$$

かご形誘導電動機では、回転子の導体に用いる棒の材料を銅から銅合金に変更すれば、等価回路の二次抵抗の値が増大するので、定格負荷時の効率が低下する。

電験２種過去問【2018年機械問1】（三相誘導電動機のL形等価回路）

かご形誘導電動機の等価回路定数測定

　以下は、三相かご形誘導電動機の等価回路定数の測定に関する記述である。
　だたし、等価回路としては一次換算した一相分の簡易等価回路（L型等価回路）を対象とする。

（１）一次巻線の抵抗測定は静止状態において直流で行う。巻線抵抗値を換算するための基準巻線温度は絶縁材料の耐熱クラスによって定められており、75℃や115℃などの値が用いられる。

（２）一次巻線の抵抗測定では、電動機の一次巻線の各端子間で測定した測定値の平均値から、基準巻線温度における一次巻線の抵抗値を決められた数式を用いて計算する。

（３）無負荷試験では、電動機の一次巻線に定格周波数の定格一次電圧を印加して無負荷運転し、一次側において電圧[V]、電流[A]及び電力[W]を測定する。

（４）拘束試験では、電動機の回転子を回転しないように拘束して、一次巻線に定格周波数の低電圧を加えて、全負荷電流に近い電流を流し、一次側において端子電圧[V]、電流[A]及び電力[W]を測定する。

（５）励磁回路のサセプタンスは無負荷試験により、一次二次の合成漏れリアクタンスと二次抵抗は拘束試験により求められる。

三相誘導電動機のトルク

電動機のトルクT[N・m]、角速度ω[rad/s]、回転速度ｎ[rpm]とすれば、出力P_o[W]は次式となる。

$$P_{o}=ωT= \frac{2 \pi n}{60} T　[W]$$

つまり$$T= \frac{60}{2 \pi n} P_{o}　[W]$$

P_o=(1-s)P₂、n=n_s(1-s)を代入すると

$$P_{2}= \frac{2 \pi n_s}{60} T　[W]$$

$P_{o}= \frac{2 \pi n}{60} T[W]$はトルクT[N・m]を発生して回転速度n[rpm]で回転しているときの電力をあらわす。

これに対して、$P_{2}= \frac{2 \pi n_s}{60} T[W]$は同じトルクT[N・m]の負荷で、同期速度n_s[rpm]で回転しているときの出力電力をあらわしている。これを同期ワットと呼ぶ。

同期ワット＝二次入力 P₂ [W]

誘導電動機のトルクT[N・m]は、同期ワットP₂[W]に比例するので、トルクをあらわすときは出力P_o[W]よりも、同期ワットP₂[W]で表すことが多い。このときのトルクと同期ワットの関係は次式となる。

$$T= \frac{60}{2 \pi n_s} P_{2}=KP_2　[W]$$

電験３種過去問【2023年(前期)機械問4】(三相誘導電動機のトルク計算)

トルク対速度曲線

電動機と負荷の特性を、回転速度を横軸、トルクを縦軸に描く、トルク対速度曲線で考える。電動機と負荷の二つの曲線が、どのように交わるかを見ると、その回転数における運転が、安定か不安定かを判定することができる。

（１）負荷トルクよりも電動機トルクが大きいと回転は加速し、反対に電動機トルクよりも負荷トルクが大きと回転は減速する。回転速度一定の運転を続けるには、負荷と電動機のトルクが一致する安定な動作点が必要である。

（２）巻線型誘導電動機では、回転速度の上昇とともにトルクが減少するように、二次抵抗を大きくし、大きな始動トルクを発生させることができる。この電動機に回転速度の上昇とともにトルクが増える負荷を接続すると、両曲線の交点が安定な動作点となる。

（３）電源電圧を一定に保った直流分巻電動機は、回転速度の上昇とともにトルクが減少する。一方、送風機のトルクは、回転速度の上昇とともにトルクが増大する。したがって、直流分巻電動機は安定に送風機を駆動することができる。

（４）かご形誘導電動機は、回転トルクが小さい時点から回転速度を上昇させるとともにトルクが増大、最大トルクを超えるとトルクが減少する。
この電動機に回転速度でトルクが変化しない定トルク負荷を接続すると、電動機と負荷のトルク曲線が２点で交わる場合がある。
この場合、速度上昇とともにトルクが減少する領域で負荷トルクが交わる点が安定な動作点である。速度上昇とともにトルクが増大する領域で負荷トルクが交わる点は不安定な動作点である。

（５）かご形誘導電動機は、最大トルクの速度より高速な領域では回転速度の上昇とともにトルクが減少する。一方、送風機のトルクは、回転速度の上昇とともにトルクが増大する。したがって、かご形誘導電動機は、安定に送風機を駆動することができる。

トルクの比例推移

二次巻線抵抗ｒ₂’[Ω]において滑りｓであるとき、負荷トルクが一定であれば、二次巻線抵抗ｒ₂’[Ω]を2倍とすれば、滑りｓも2倍となる。ｒ₂’[Ω]を3倍とすれば、滑りｓも3倍となる。

トルクTが一定であれば、すべりｓは常にｒ₂’[Ω]に比例して推移するので、この変化を比例推移という。

トルクに関する問題

　三相誘導電動機の速度制御としてPWMインバータを用いたV/f一定制御が広く用いられている。ここで、Vは電動機の端子電圧、ｆは端子電圧の周波数である。Ｖ／ｆ一定制御されている誘導電動機の定常状態のトルク特性が、端子電圧の周波数$f_1,f_2$に対し、図のように与えられている。また、負荷のトルク特性は回転数Ｎに関わらず$T_L$一定で図のように与えられている。このとき、電動機の回転数はそれぞれ、$N_1,N_2$である。今、この電動機が$f_2$にて運転中で、回転数が$N_2$のときに、周波数$f_1$に切り換え、$N_1$まで減速して、点Ａで負荷トルクと電動機トルクがつりあう。
　$N_2$からの減速過程のうち、$N_0<N<N_2$では電動機は発電機動作をするので、電動機は負のトルクを発生する。これにより減速する回転系としては、軸受の摩擦などを無視すると、この発電機動作のトルクと負荷トルクの合成が減速トルクとなる。
　続いて、$N=N_0$まで減速すると、このとき、電動機は同期速度で運転しているので、負荷トルクのみが減速トルクとなる。
さらに減速して、$N_1<N<N_0$となると、電動機は電動機動作をするので、正のトルクを発生する。この区間では電動機の発生トルクは負荷トルクより小さいので、負荷トルクから電動機トルクを差し引いた差が減速トルクとして働く。

電験２種過去問【2022年機械問2】（V/f一定制御される誘導電動機）

YーΔ始動法

　Δ結線の一次巻線をY結線に接続を変えて電源電圧を加え始動電流を制限する。回転速度が上昇するとΔ結線に戻す。

電験２種過去問【2018年機械制御問1】（三相かご形誘導電動機の始動方法）

誘導電動機の速度制御

　誘導電動機の速度を自由に、かつ広範囲に制御できれば、回転機の可変速制御を必要とする分野で広く応用できる。ここに誘導電動機の同期角速度を$\omega_{s},極数を2p,$滑りをs,電源周波数をfとすると、回転角速度$\omega_{m}$は、次式のように表現される。
$\omega_m=\omega_s(1-s)=\displaystyle\frac{2\pi f}{p}(1-s)$　…①
①式より、極数、滑りあるいは周波数のいずれかを変化できれば、誘導電動機の速度は制御できることになる。
極数を変化させる方法はあらかじめ極数が変更できるように巻線の接続法を工夫しておき、必要に応じてスイッチで切り換えることにより変える方法であるが、段階的な制御であり連続した可変速を必要とする用途には不向きである。
滑りを変化させる方式では、誘導電動機の発生トルクが入力電圧の2乗に比例することを利用する一次電圧制御法がある。
本方式は滑りの増加とともに電動機の効率が悪化するので、電動機の効率を重視する用途には不向きである。
周波数を連続的に制御する方式は、近年の自励式インバータ電源（電力変換器）による駆動が可能となったことにより広く採用されるようになった。例えばオープンループ制御のインバータ電源による駆動ではV/f一定制御が行われ、電動機の磁束が飽和しないようにしている。さらに精密な回転機の制御が求められる時には、ベクトル制御による高精度制御が行われる。

電験２種過去問【2020年機械問3】（誘導電動機の速度制御）

電験１種過去問【2010年機械制御問1】（三相誘導電動機の拘束試験と始動周波数計算）

電験学習帳学習, 誘導機

Posted by ちゅん

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