電験3種過去問【2021年理論 問17】

【電磁気】コンデンサ内の電界の強さと蓄積エネルギー《計算問題》

 図のように、極板間の厚さd[m]、表面積S[m2]の平行板コンデンサAとBがある。コンデンサAの内部は、比誘電率と厚さが異なる3種類の誘電体で構成され、極板と各誘電体の水平方向の断面積は同一である。コンデンサBの内部は、比誘電率と水平方向の断面積が異なる3種類の誘電体で構成されている。コンデンサAの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEA1、EA2、EA3、コンデンサBの各誘電体内部の電界の強さをそれぞれEB1、EB2、EB3とし、端効果、初期電荷及び漏れ電流は無視できるものとする。また、真空の誘電率をε0[F/m]とする。両コンデンサの上側の極板に電圧V[V]の直流電源を接続し、下側の極板を接地した。次の(a)及び(b)の問に答えよ。

(a)コンデンサAにおける各誘電体内部の電界の強さの大小関係とその中の最大値の組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)\(\displaystyle E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{3V}{5d}\)

(2)\(\displaystyle E_{A1}<E_{A2}<E_{A3},\frac{3V}{5d}\)

(3)\(\displaystyle E_{A1}=E_{A2}=E_{A3},\frac{V}{d}\)

(4)\(\displaystyle E_{A1}>E_{A2}>E_{A3},\frac{9V}{5d}\)

(5)\(\displaystyle E_{A1}<E_{A2}<E_{A3},\frac{9V}{5d}\)

(b)コンデンサA全体の蓄積エネルギーは、コンデンサB全体の蓄積エネルギーの何倍か、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1)0.72 (2)0.83 (3)1.00 (4)1.20 (5)1.38

解答と解説はこちら

解答

(a):(4)
(b):(2)

解説

(a)コンデンサAにおいて、極板間の磁束密度D[C/m2]は各誘電体内部で等しいので、

\(\displaystyle D=2ε_0 E_{A1}=3ε_0 E_{A2}=6ε_0 E_{A3}\text{[C/㎡]}\)

\(\displaystyle ∴E_{A1}=\frac{3}{2}E_{A2}=3E_{A3}\)

\(\displaystyle E_{A1}\)を基準とすると、

\(\displaystyle E_{A2}=\frac{2}{3}E_{A1}\)

\(\displaystyle E_{A3}=\frac{1}{3}E_{A1}\)

上式の関係から、EA1が一番大きく、EA2は2番目に大きく、EA3が一番小さい。

電圧V[V]は「電界の強さ×距離」であるので、

\(\displaystyle V=\frac{d}{6}E_{A1}+\frac{d}{3}E_{A2}+\frac{d}{2}E_{A3}\)

\(\displaystyle =\frac{d}{6}E_{A1}+\frac{d}{3}\left(\frac{2}{3}E_{A1}\right)+\frac{d}{2}\left(\frac{1}{3}E_{A1}\right)\)

\(\displaystyle =\frac{d}{6}E_{A1}+\frac{2d}{9}E_{A1}+\frac{d}{6}E_{A1}\)

\(\displaystyle =\frac{3d}{18}E_{A1}+\frac{4d}{18}E_{A1}+\frac{3d}{18}E_{A1}\)

\(\displaystyle =\frac{10d}{18}E_{A1}\)

\(\displaystyle ∴V=\frac{5d}{9}E_{A1}\)

\(\displaystyle ∴E_{A1}=\frac{9V}{5d}\)

(b)静電容量C[F]のコンデンサに、電位差V[V]が与えられているとき、蓄えられるエネルギーW[J]は

\(\displaystyle W=\frac{1}{2}CV^2\text{[J]}\)

コンデンサの静電容量C[F]は

\(\displaystyle C=ε\frac{S}{d}\text{[F]}\)

となる。

コンデンサAは、各誘電体のコンデンサ\(\displaystyle C_{A1}、C_{A2}、C_{A3}\)が直列に接続されていると考えると、

\(\displaystyle C_{A1}=2ε_0\frac{S}{\left(\frac{d}{6}\right)}=12ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{A2}=3ε_0\frac{S}{\left(\frac{d}{3}\right)}=9ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{A3}=6ε_0\frac{S}{\left(\frac{d}{2}\right)}=12ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{A1}、C_{A2}、C_{A3}\)が直列に接続されているときの合成静電容量\(\displaystyle C_{A}\)は、次式となる。

\(\displaystyle C_{A}=\frac{C_{A1}C_{A2}C_{A3}}{C_{A1}C_{A2}+C_{A2}C_{A3}+C_{A1}C_{A3}}\text{[F]}\)

\(\displaystyle K=ε_0\frac{S}{d}\)とおくと、

\(\displaystyle C_{A}=\frac{1296K^3}{108K^2+108K^2+144K^2}\)

\(\displaystyle =\frac{1296K^3}{360K^2}\)

\(\displaystyle =3.6K\text{[F]}\)

コンデンサBは、各誘電体のコンデンサ\(\displaystyle C_{B1}、C_{B2}、C_{B3}\)が並列に接続されていると考えると、

\(\displaystyle C_{B1}=2ε_0\frac{\left(\frac{S}{6}\right)}{d}=\frac{1}{3}ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{B2}=3ε_0\frac{\left(\frac{S}{3}\right)}{d}=ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{B3}=6ε_0\frac{\left(\frac{S}{2}\right)}{d}=3ε_0\frac{S}{d}\text{[F]}\)

\(\displaystyle C_{B1}、C_{B2}、C_{B3}\)が並列に接続されているときの合成静電容量\(\displaystyle C_{B}\)は、次式となる。

\(\displaystyle C_{B}=C_{B1}+C_{B2}+C_{B3}\text{[F]}\)

\(\displaystyle K=ε_0\frac{S}{d}\)とおくと、

\(\displaystyle C_{B}=\left( \frac{1}{3}+1+3 \right)K\)

\(\displaystyle =\frac{13}{3}K\)

\(\displaystyle =4.33K\text{[F]}\)

合成静電容量\(\displaystyle C_{A}\text{[F]}\)のコンデンサAに、蓄えられるエネルギー\(\displaystyle W_{A}\text{[J]}\)は

\(\displaystyle W_A=\frac{1}{2}C_A V^2\text{[J]}\)

同様に、合成静電容量\(\displaystyle C_{B}\text{[F]}\)のコンデンサBに、蓄えられるエネルギー\(\displaystyle W_{B}\text{[J]}\)は

\(\displaystyle W_B=\frac{1}{2}C_B V^2\text{[J]}\)

コンデンサAに蓄えられる蓄積エネルギーの、コンデンサBに蓄えられる蓄積エネルギーに対する比は、

\(\displaystyle \frac{W_{A}}{W_{B}}=\frac{C_A}{C_B}=\frac{3.6K}{4.33K}=0.83\)