電験頻出の最小値を求めるパターン
電験の問題では、最大値（分母の最小値）を求める問題で、好んでこのパターンが使用されます。覚えておけばかなりの時間短縮になるので、ぜひ活用してください。
相加相乗平均比較
\(a>0,b>0\)では相加平均\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\)は、相乗平均\(\displaystyle \sqrt{ab}\)より常に大きく、以下が成り立つ。等号はa=bのときに成り立つ。
\(\displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)
\(\displaystyle a+b≧2\sqrt{ab}\)
最小値を知りたい変数が\(\displaystyle f(X)=k_1X+k_2\frac{1}{X}\)の形をとるとき、
\(\displaystyle a=k_1X,b=k_2\frac{1}{X}\)とおくと、
\(\displaystyle k_1X+k_2\frac{1}{X}≧2\sqrt{k_1k_2}\)
右辺は定数となるので、\(a=b\)のときに等号が成立し、
\(\displaystyle k_1X=k_2\frac{1}{X}\)のときに\(f(X)\)は最小値となる。
相加相乗平均比較法の使用例
相加相乗平均比較式の証明
\(a>0,b>0\)において、
\(\displaystyle a+b≧2\sqrt{ab}\)の両辺を2乗して
\(\displaystyle (a+b)^2≧4ab\)
\(\displaystyle a^2-2ab+b^2≧0\)
\(\displaystyle (a-b)^2≧0\)
したがって不等号が成り立つ。
また\(a-b=0\)のとき、すなわち\(a=b\)で等号が成り立つ。