電験3種過去問【2021年理論 問7】

2021年9月16日

【電気回路】可変抵抗で消費される最大電力《計算問題》

 図のように、起電力E[V]、内部抵抗r[Ω]の電池n個と可変抵抗R[Ω]を直列に接続した回路がある。この回路において、可変抵抗R[Ω]で消費される電力が最大になるようにその値[Ω]を調整した。このとき、回路に流れる電流Iの値[A]を表す式として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

(1) \(\displaystyle \frac{E}{r}\)

(2) \(\displaystyle \frac{nE}{(\frac{1}{n}+n)r}\)

(3) \(\displaystyle \frac{nE}{(1+n)r}\)

(4) \(\displaystyle \frac{E}{2r}\)

(5) \(\displaystyle \frac{nE}{r}\)

解答と解説はこちら

解答

(4)

解説

回路に流れる電流I[A]は

\(\displaystyle I=\frac{nE}{R+nr}\text{[A]}\)

可変抵抗R[Ω]で消費される電力P[W]は

\(\displaystyle P=I^2R=\left(\frac{nE}{R+nr}\right)^2R\)

\(\displaystyle =\frac{R(nE)^2}{(R+nr)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{R(nE)^2}{R^2+2Rnr+(nr)^2}\)

\(\displaystyle =\frac{(nE)^2}{R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}}\)

上式の分母が最小になるとき、P[W]は最大となる。

つまり、分母をRの変数となる関数f(R)とおくと、

関数f(R)が最小になるとき、P[W]は最大となる。

\(\displaystyle f(R)=R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}\)

\(\displaystyle R=(\sqrt{R})^2\)として変形すると、

\(\displaystyle f(R)=(\sqrt{R})^2+2nr+\left(\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2\)

\(\displaystyle (a-b)^2\)の形となる数式に変形すると、

\(\displaystyle f(R)=\left(\sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2+4nr\)

\(\displaystyle \left(\sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2=0\)となるとき、関数f(R)が最小になるので

\(\displaystyle \sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}=0\)で、関数f(R)は最小となる。つまり

\(\displaystyle \sqrt{R}=\frac{nr}{\sqrt{R}}\)

\(\displaystyle R=nr\)

★相加平均・相乗平均比較法はこちら

★相加相乗平均比較法で\(\displaystyle f(R)=R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}\)が最小となる条件を求める

a>0,b>0では相加平均\(\displaystyle \frac{a+b}{2}\)は、相乗平均\(\displaystyle \sqrt{ab}\)より常に大きく、

\(\displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}\)

\(\displaystyle a+b≧2\sqrt{ab}\)

等号はa=bのときに成り立つ。つまり、変数Xが\(\displaystyle a=X,b=\frac{1}{X}\)の形をとれば

a=bのときに、つまり、\(\displaystyle X=\frac{1}{X}\)のときにf(X)は最小値となる。

\(\displaystyle R+\frac{(nr)^2}{R}\)が最小であれば、f(R)は最小であるので、

\(\displaystyle R=\frac{(nr)^2}{R}\)のときに、f(R)は最小となる。つまり

\(\displaystyle R^2=(nr)^2\)

\(\displaystyle R=nr\)

★微分法はこちら

★微分法で\(\displaystyle f(R)=R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}\)が最小となる条件を求める

関数f(R)は\(\displaystyle R\)と\(\displaystyle \frac{1}{R}\)の合成であるので、

R>0では、Rが大きくなるにつれて、

f(R)は∞から最小値へ向かい、最小値からRに比例する関数に近づくように増加する。

関数f(R)を微分すると

\(\displaystyle f'(R)=1-\frac{(nr)^2}{R^2}\)

関数f’(R)=0は、f(R)の傾きが0となる点、すなわち最小値を示すので

\(\displaystyle f'(R)=1-\frac{(nr)^2}{R^2}=0\)

\(\displaystyle \frac{(nr)^2}{R^2}=1\)

\(\displaystyle R^2=(nr)^2\)

\(\displaystyle R=nr\)

つまり、R=nr[Ω]のとき、消費電力P[W]は最大となる。このときの電流I[A]は

\(\displaystyle I=\frac{nE}{R+nr}\text{[A]}\)

上式に、R=nr[Ω]を代入して

\(\displaystyle I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{nE}{2nr}=\frac{E}{2r}\text{[A]}\)