電験3種過去問【2021年理論 問1】

【電磁気】平行板コンデンサの電界と電束《空所問題》

 次の文章は、平行板コンデンサに関する記述である。
 図のように、同じ寸法の直方体で誘電率の異なる二つの誘電体(比誘電率εr1の誘電体1と比誘電率εr2の誘電体2)が平行板コンデンサに充填されている。極板間は一定の電圧V[V]に保たれ、極板Aと極板Bにはそれぞれ+Q[C]と-Q[C](Q>0)の電荷が蓄えられている。誘電体1と誘電体2は平面で接しており、その境界面は極板に対して垂直である。ただし、端効果は無視できるものとする。
 この平行板コンデンサにおいて、極板A,Bに平行な誘電体1、誘電体2の断面をそれぞれ面S1、面S2(面S1と面S2の断面積は等しい)とすると、面S1を貫く電気力線の総数(任意の点の電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表す)は、面S2を貫く電気力線の総数の【(ア)】倍である。面S1を貫く電束の総数は、面S2を貫く電束の総数の【(イ)】倍であり、面S1と面S2を貫く電束の数の総和は【(ウ)】である。

 上記の記述中の空白個所(ア)~(ウ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

  (ア) (イ) (ウ)
(1) 1 \( \displaystyle \frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}\) Q
(2) 1 \( \displaystyle \frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}\) \( \displaystyle \frac{Q}{ε_{r1}}+\frac{Q}{ε_{r2}}\)
(3) 1 \( \displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}\) \( \displaystyle \frac{Q}{ε_{r1}}+\frac{Q}{ε_{r2}}\)
(4) \( \displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}\) 1 \( \displaystyle \frac{Q}{ε_{r1}}+\frac{Q}{ε_{r2}}\)
(5) \( \displaystyle \frac{ε_{r2}}{ε_{r1}}\) 1 Q

解答と解説はこちら

解答

(1)

解説

電界E[V/m]は、電極間距離をd[m]、電極間電位差をV[V]とすると

\(\displaystyle E=\frac{V}{d}\)

で与えられる。

本題では、誘電体1及び誘電体2の極板間の間隔と電位差はともに等しいので、

それぞれの誘電体には、等しい電界が存在する。

電気力線の密度は、その点での電界の大きさを表すので、

誘電体1と誘電体2の電気力線の密度は等しい。

また、両誘電体の断面積も等しいため、それぞれの誘電体を貫く電気力線の総数も等しい

一方で、誘電率εの絶縁体中にE[V/m]の電界があるとき、電束密度D[C/m2]は次式となる。

\(\displaystyle D=εE\)

誘電体1及び誘電体2に電界E[V/m]が与えられているとすると(前述のとおり、それぞれの誘電体中の電界は等しい)、誘電体1の電束密度D1[C/m2]と、誘電体2の電束密度D2[C/m2]は

\(\displaystyle D_1=ε_{r1}E\)

\(\displaystyle D_2=ε_{r2}E\)

面S1を貫く電束の総数は、面S2を貫く電束の総数の比で表すと、誘電体1と2に各断面積S1=S2であるので、電束密度の比と等しい。つまり

\(\displaystyle \frac{D_1}{D_2}=\frac{ε_{r1}E}{ε_{r2}E}=\frac{ε_{r1}}{ε_{r2}}\)

電束の定義より「Q[C]の電荷から出る電束の数はQ」であるので、

誘電体1と誘電体2の電束の総和は、極板の電荷Q[C]と等しくなる。