電験３種過去問【2018年理論 問2】

解答

（１）

解説

題意より、極板の面積はS[ｍ²]、極板間電圧はV[V]で一定。
挿入前の、空気ギャップの電界E₀[V/m]は

E₀＝V/d₀

厚さｄ₁の個体誘電体を挿入したとき、
挿入後の極板静電容量C₁は

1/C₁＝d₁/(ε_rε₀S)+(d₀-d₁)/(ε₀S)={ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}/(ε_rε₀S)
C₁=(ε_rε₀S)/{ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}

各極板に蓄えられる電荷Q₁は
Q₁=C₁V=(ε_rε₀S)V/{ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}

極板間の電束密度D₁は
D₁＝Q₁/S
このときの、空気ギャップの電界E₁は

E₁＝D₁/ε₀＝Q₁/(Sε₀)＝ε_rV/{ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}
＝ε_rV/{ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}×(d₀/d₀)＝ε_rd₀/{ε_rd₀+(1-ε_r)d₁}×E₀

上式の(1-ε_r)はε_r＞1よりマイナスとなりE₀の係数は分母が小さくなるためE₁>E₀となる。

厚さｄ₂の導体を挿入したとき、導体部はギャップを縮めていると考えられるので
挿入後の極板静電容量C₂は

1/C₂＝(d₀-d₂)/(ε₀S)
C₂=(ε₀S)/(d₀-d₂)

各極板に蓄えられる電荷Q₂は
Q₂=C₂V=(ε₀S)V/(d₀-d₂)
電束密度D₂＝Q₂/S
空気ギャップの電界E₂は

E₂＝D₂/ε₀＝Q₂/(Sε₀)＝V/(d₀-d₂)
＝V/(d₀-d₂)×(d₀/d₀)＝d₀/(d₀-d₂)×E₀

上式の(d₀-d₂)は（d₂＜d₀）よりE₀の係数は分母が小さくなるためE₂>E₀となる。