電験3種過去問【2018年理論 問1】

【電磁気】帯電導体球に働く力《計算問題》

 次の文章は、帯電した導体球に関する記述である。

 真空中で導体球A及びBが軽い絶縁体の糸で固定点Oからつり下げられている。真空の誘電率をε0[F/m]、重力加速度をg[m/s2]とする。A及びBは同じ大きさと質量m[kg]をもつ。糸の長さは各導体球の中心点が点Oから距離l[m]となる長さである。
 まず、導体球A及びBにそれぞれ電荷Q[C]、3Q[C]を与えて帯電させたところ、静電力による
【(ア)】が生じ、図のようにA及びBの中心点間がd[m]離れた状態で釣り合った。ただし、導体球の直径はdに比べて十分に小さいとする。このとき、個々の導体球において、静電力F=【(イ)】[N]、重力mg[N]、糸の張力T[N]、の三つの力が釣り合っている。三平方の定理よりF2+(mg)2=T2が成り立ち、張力の方向を考えるとF/Tはd/(2l)に等しい、これらよりTを消去し整理すると、dが満たす式として、
 k{d/(2l)}3=√[1-{d/(2l)}2]
が導かれる。ただし、係数k=【(ウ)】である。
 次に、AとBとを一旦接触させたところAB間で電荷が移動し、同電位となった。そしてAとBとが力の釣合いの位置に戻った。接触前に比べ、距離dは
【(エ)】した。

 上記の記述中の空白個所(ア)、(イ)、(ウ)及び(エ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。 

  (ア) (イ) (ウ) (エ)
(1) 反発力 3Q2/(4πε0d2) 16πε0l2mg/(3Q2) 増加
(2) 吸引力 Q2/(4πε0d2) 4πε0l2mg/(Q2) 増加
(3) 反発力 3Q2/(4πε0d2) 4πε0l2mg/(Q2) 増加
(4) 反発力 Q2/(4πε0d2) 16πε0l2mg/(3Q2) 減少
(5) 吸引力 Q2/(4πε0d2) 4πε0l2mg/(Q2) 減少
解答と解説はこちら

解答

(1)

解説

 点電荷QA[C]と点電荷QB[C]が距離r[m]はなれて、真空中に置かれているとき、それぞれにはF[N]の静電力が発生する。

 F=QAQB/(4πε0r2)[N]

このとき、QA×QBの符号が、+の時には反発力となり、-のときには吸引力となる。

 問題中では導体球Aの電荷をQA=Q[C]、導体球Bの電荷をQB=3Q[C]とすると、QA×QB=3Q2>0であるので、それぞれの導体球には(ア)反発力FAB[N]が働く。

 (イ)FAB=3Q2/(4πε0d2)[N]

題意より、下のように式(1)及び式(2)が成り立つので、Tを消去するようにこれを解くと 

 F2+(mg)2=T2 …(1)
 F/T=d/(2l) …(2)

式(1) ÷ T2より

 (F/T)2+(mg)2/(T)2=1

 (mg)2/(T)2=1-(F/T)2 …(3)

式(3)の両辺にルートを掛けると、式(3)1/2より

 {(mg)2/(T)2}1/2={1-(F/T)2}1/2 

 (mg)/T={1-(F/T)2}1/2 

 (mg)/T={1-(F/T)2}1/2 

 (mg)(T2/F3)(F/T)3={1-(F/T)2}1/2 …(4)

式(4)のように、問題中の等式へ整理すると、

 k=(mg)(T2/F3)

式(2)よりT=2Fl/dであるのでこれを代入して

 k=(mg){(2Fl/d)2/F3}=4mgl2/(d2F)

F=FAB=3Q2/(4πε0d2)を代入すると、

 k=4mgl2/(d2FAB)=(4πε0d2)4mgl2/(d23Q2)=(ウ)16πε0l2mg/(3Q2)

 2つの導体球を接触させ、同電位とした後は、導体球Aの電荷をQA=Q[C]、導体球Bの電荷をQB=3Q[C]の総和である4Q[C]が、AとBへ等しく分布する。

 このため、AとBが釣合いの位置に戻った時のA及びBの中心点間の距離をdAB[m]とすると、Aの電荷はQA=2Q[C]、Bの電荷をQB=2Q[C]となっているので、それぞれの導体球にはFAB’[N]が働く。

 FAB’=4Q2/(4πε0dAB2)[N] …(5)

式(1)よりF2=T2(mg)2…の関係が成り立つので

 FAB2=T2(mg)2
 FAB’2=T2-(mg)2 
すなわちFAB2=FAB’2 ∴FAB=FAB’ 

(イ)の回答と、式(5)をそれぞれ代入すると、

 3Q2/(4πε0d2)=4Q2/(4πε0dAB2)

 (dAB/d)2=4/3

 dAB/d=2/√3=1.16

 つまり、接触後の距離dABは、接触前の距離dに比べて、1.16倍に(エ)増加する。