電験３種過去問【2022年(下期)機械 問15】

解答

（a）:（2）が正しい。
（b）:（4）が正しい。

解説

(a)　出力電圧\(\dot{V}_o\)は、直列RLC回路の合成インピーダンスZのうち、キャパシタンスCに分圧するので、
\(\displaystyle \dot{V}_o=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{\dot{Z}}\dot{V}_i\)
\(\displaystyle 　=\frac{\frac{1}{j\omega C}}{R+j\omega L+\frac{1}{j\omega C}}\dot{V}_i\)
\(\displaystyle 　=\frac{1}{j\omega CR-\omega^2LC+1}\dot{V}_i\)

従って、伝達関数は
\(\displaystyle G(j\omega)=\frac{\dot{V}_o}{\dot{V}_i}\)
\(\displaystyle 　=\frac{1}{1-\omega^2LC+j\omega CR}\)

(b)　伝達関数\(\displaystyle G(j\omega)\)の利得（ゲイン）をデシベルで表すと、
\(\displaystyle 20\log_{10}|G(j\omega)|\)
となる。
\(\displaystyle G(j\omega)=\frac{1}{1-\omega^2LC+j\omega CR}\)なので、

\(\displaystyle 20\log_{10}|G(j\omega)|=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2LC)^2+(\omega CR)^2}}\)
R=1Ω、L=0.01H、C=100μF を代入すると、\(\displaystyle G(j\omega)\)のゲイン[dB]は以下となる。
\(\displaystyle 20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{(1-\omega^2\times10^{-6})^2+(\omega \times10^{-4})^2}}\)

ここでω=1000を代入すると、
\(\displaystyle 20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{(1-10^6\times10^{-6})^2+(10^3 \times10^{-4})^2}}\)
\(\displaystyle =20\log_{10}10=20\)[dB]

またω=100を代入すると、
\(\displaystyle 20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{(1-10^4\times10^{-6})^2+(10^2 \times10^{-4})^2}}\)
\(\displaystyle 20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{(0.99)^2+(10^{-2})^2}}\)
\(\displaystyle =20\log_{10}1.01≒0\)[dB]

上記より、(4)のボード線図が最も近い。