// google adsence用 電験2種過去問【2019年理論 問3】 | 電気主任技術者のいろは

電験2種過去問【2019年理論 問3】

2024年6月10日

【電気回路】直流回路のコンデンサ電圧の過渡現象《空所問題》

 次の文章は、電気回路の過渡現象に関する記述である。文中の\(\fbox{空所欄}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
 図の回路は、時刻t<0においてスイッチSは開いており、回路は定常状態にある。この回路のスイッチSを時刻t=0で閉じるものとする。
 スイッチSを閉じた後、十分に時間が経過して回路が定常状態になったときのキャパシタCの電圧は、
\(\fbox{(1)}\)である。したがって、時刻t=0でスイッチSを閉じた後の過渡状態においては、回路の時定数を\(T_1\)とすれば、キャパシタCの電圧は、

 \(v_C(t)=\fbox{(1)}+\fbox{(2)} e^{-t/T_1},(t≧0)\)

となる。ここで回路の時定数は、\(T_1=\fbox{(3)}\)である。
 スイッチSを閉じた後、十分に時間が経過して回路が定常状態になった時刻\(t=t_0\)で、再びスイッチSを開いた。スイッチSを再び開いた後の過渡状態においては、回路の時定数を\(T_2\)とすれば、キャパシタCの電圧は、
 \(v_C(t)=\fbox{(1)}+\fbox{(2)}(\fbox{(4)}) ,(t≧t_0)\)
となる。ここで回路の時定数は、\(T_2=\fbox{(5)}\)である。

[問3の解答群]

\(\small{\begin{array}{ccc}
(イ)&V&(ロ)&\displaystyle\frac{r}{R+r}V&(ハ)&1-e^{-(t-t_0)/T_2}\\
(ニ)&\displaystyle\frac{R}{R+r}V&(ホ)&0&(ヘ)&\displaystyle\frac{R+r}{r}V\\
(ト)&\displaystyle\frac{CRr}{R+r}&(チ)&C(R+r)&(リ)&1+e^{-(t-t_0)/T_2}\\
(ヌ)&\displaystyle\frac{C}{r}&(ル)&\displaystyle\frac{r}{C}&(ヲ)&-1+e^{-(t-t_0)/T_2}\\
(ワ)&\displaystyle -\frac{R}{R+r}V&(カ)&Cr&(ヨ)&\displaystyle\frac{R+r}{CRr}\\
\end{array}}\)

解答と解説はこちら

解答

\(\small{\begin{array}{cc}
\hline(1)&(ニ)&\displaystyle\frac{R}{R+r}V\\
\hline(2)&(ロ)&\displaystyle\frac{r}{R+r}V\\
\hline(3)&(ト)&\displaystyle\frac{CRr}{R+r}\\
\hline(4)&(ハ)&1-e^{-(t-t_0)/T_2}\\
\hline(5)&(カ)&Cr\\
\hline\end{array}}\)

解説

 図の回路は、時刻t<0においてスイッチSは開いており、回路は定常状態にある。この回路のスイッチSを時刻t=0で閉じるものとする。
 スイッチSを閉じた後、十分に時間が経過して回路が定常状態になったときのキャパシタCに電流は流れないので、その電圧は抵抗Rにかかる電圧と等しくなり、\(\displaystyle(ニ)\frac{R}{R+r}V\)である。

スイッチSを閉じた後の回路方程式は、rに流れる電流を\(i_r\)、Cに蓄えられる電荷をq、Rに流れる電流を\(i_R\)とすると、

Cに流れる電流\(\displaystyle i_C=\frac{dq}{dt}\)、Cの電圧\(\displaystyle v_C=\frac{q}{C}\)なので、

\(\displaystyle i_r=\frac{dq}{dt}+i_R\) …①
\(\displaystyle V=i_rr+\frac{q}{C}\) …②
\(\displaystyle \frac{q}{C}=i_RR\) …③

①、②より
\(\displaystyle V=r(\frac{dq}{dt}+i_R)+\frac{q}{C}\) …④
③、④より
\(\displaystyle V=r(\frac{dq}{dt}+\frac{q}{CR})+\frac{q}{C}\)
\(\displaystyle V=r\frac{dq}{dt}+\frac{r}{CR}q+\frac{1}{C}q\)
\(\displaystyle V=r\frac{dq}{dt}+\frac{R+r}{CR}q\)

一階線形微分方程式\(\displaystyle \frac{dy}{dx}+py=k\)の一般解は\(\displaystyle y=Ae^{-px}+\frac{k}{p}\)で与えられるので(Aは任意定数)、上式を展開し一般解を求めると

\(\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{R+r}{CRr}q=\frac{V}{r}\)

\(\displaystyle q=Ae^{-\frac{R+r}{CRr}t}+\frac{\frac{V}{r}}{\frac{R+r}{CRr}}\)
\(\displaystyle =Ae^{-\frac{R+r}{CRr}t}+\frac{CR}{R+r}V\)

キャパシタCの電圧は

\(\displaystyle v_C(t)=\frac{q}{C}\)
\(\displaystyle =\frac{A}{C}e^{-\frac{R+r}{CRr}t}+\frac{R}{R+r}V\)

t=0のとき、キャパシタCには全電源電圧がかかるので、\(\displaystyle v_C(0)=V\)である。任意定数Aを求めると、

\(\displaystyle v_C(0)=\frac{A}{C}e^{-\frac{R+r}{CRr}\times0}+\frac{R}{R+r}V\)
\(\displaystyle =\frac{A}{C}+\frac{R}{R+r}V=V\)

\(\displaystyle \frac{A}{C}=\frac{r}{R+r}V\)
\(\displaystyle \frac{A}{C}=\frac{r}{R+r}V\)
\(\displaystyle A=\frac{Cr}{R+r}V\)

したがって、時刻t=0でスイッチSを閉じた後の過渡状態においては、回路の時定数を\(T_1\)とすれば、キャパシタCの電圧は、

 \(\displaystyle v_C(t)=(ニ)\frac{R}{R+r}V+(ロ)\frac{r}{R+r}Ve^{-t/T_1},(t≧0)\)

となる。ここで回路の時定数は定義より、\(T_1=(ト)\displaystyle\frac{CRr}{R+r}\)である。

 スイッチSを閉じた後、十分に時間が経過して回路が定常状態になった時刻\(t=t_0\)で、再びスイッチSを開いた。スイッチSを再び開いた後の過渡状態においては、回路に流れる電流を\(i\)、Cに蓄えられる電荷をqとすると、

\(\displaystyle ri+\frac{q}{C}=r\frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=V\)
∴\(\displaystyle \frac{dq}{dt}+\frac{1}{Cr}q=\frac{V}{r}\)

一般解を求めると、

\(\displaystyle q=Ae^{-\frac{t}{Cr}}+\frac{\frac{V}{r}}{\frac{1}{Cr}}\)
\(\displaystyle =Ae^{-\frac{t}{Cr}}+CV\)

上式の初期条件はt=0で\(\displaystyle v_C(t)=\frac{q}{C}=\frac{R}{R+r}V\)であるので、

\(\displaystyle \frac{A}{C}e^{-\frac{0}{Cr}}+V=\frac{R}{R+r}V\)
∴\(\displaystyle \frac{A}{C}+V=\frac{R}{R+r}V\)
∴\(\displaystyle \frac{A}{C}=-\frac{r}{R+r}V\)

したがって

\(\displaystyle v_C(t)=\frac{q}{C}=-\frac{r}{R+r}Ve^{-\frac{t}{Cr}}+V\)
\(\displaystyle =\frac{R+r}{R+r}V-\frac{r}{R+r}Ve^{-\frac{t}{Cr}}\)
\(\displaystyle =\frac{R}{R+r}V+\frac{r}{R+r}V-\frac{r}{R+r}Ve^{-\frac{t}{Cr}}\)
\(\displaystyle =\frac{R}{R+r}V+\frac{r}{R+r}V(1-e^{-\frac{t}{Cr}})\)

回路の時定数を\(T_2\)とすれば、キャパシタCの電圧は、
 \(\displaystyle v_C(t)=(ニ)\frac{R}{R+r}V+(ロ)\frac{r}{R+r}((ハ)1-e^{-(t-t_0)/T_2}) ,(t≧t_0)\)
となる。ここで回路の時定数は、\(T_2=(カ)Cr\)である。

<<前問  次問>>