電験２種過去問【2021年理論 問5】

解答

(１)：（ホ）
(２)：（ル）
(３)：（ヌ）
(４)：（ハ）
(５)：（ト）

解説

　図に示す直流電圧源Eに接続されたRLC回路のスイッチSWをa側に接続し、回路が定常状態に到達したあと、時刻t=0でスイッチSWをb側に接続した。
　t≧0での回路方程式は、コンデンサCに蓄えられた電圧v(t)が、スイッチSWのb側閉回路へ電流i(t)を供給するので、

$\displaystyle v(t)=-Ri(t)-L\frac{di(t)}{dt}$

$\displaystyle L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+v(t)=0$　…　①

となる。

ここで、スイッチSWがa側に接続された定常状態では、コンデンサCには直流電源電圧Eが印加された状態であり、電流i(t)=0である。（※コンデンサ電極を開放端子とみなすことができる）

したがって、①式において、t=0のとき、$\displaystyle v(t)=$$\fbox{E}$ ,$\displaystyle i(t)=$$\fbox{0}$である。

ここで、t=0のときの$\displaystyle v(t)=$$\fbox{E}$ ,$\displaystyle i(t)=$$\fbox{0}$を①式に代入すると、

$\displaystyle L\frac{di(t)}{dt}+Ri(t)+v(t)=0$

$\displaystyle L\frac{di(t)}{dt}+0+E=0$

$\displaystyle \frac{di(t)}{dt}=-\frac{E}{L}$

つまり、$\displaystyle \frac{di(t)}{dt}=$$\displaystyle -\frac{E}{L}$であることが分かる。

①式の両辺に$\displaystyle i(t)$を掛けてt=0からt=∞まで積分すると、

$\displaystyle \int_0^{∞}Ri(t)^2dt=-\int_0^{∞}L\frac{di(t)}{dt}i(t)dt-\int_0^{∞}v(t)i(t)dt$　…　②

となる。②式に図の回路の$\displaystyle v(t)$と$\displaystyle i(t)$の関係式$\displaystyle i(t)=C\frac{dv(t)}{dt}$を代入すると、積分の結果は次のようになる。

$\displaystyle \int_0^{∞}Ri(t)^2dt=-\int_0^{∞}Li(t)\frac{di(t)}{dt}dt-\int_0^{∞}Cv(t)\frac{dv(t)}{dt}dt$

$\displaystyle =-\int_0^{∞}Li(t)di(t)-\int_0^{∞}Cv(t)dv(t)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}L\left[i(∞)^2-i(0)^2\right]-\frac{1}{2}C\left[v(∞)^2-v(0)^2\right]$

ここで、$\displaystyle i(0)=0$、また十分に時間経過すると、コンデンサCの放電は完了し$\displaystyle i(∞)=0$となる。さらに$\displaystyle v(0)=E$、また十分に時間経過すると、コンデンサCの放電は完了し$\displaystyle v(∞)=0$となる。

したがって、$\displaystyle \int_0^{∞}Ri(t)^2dt=$$\displaystyle \frac{1}{2}CE^2$を得る。