電験2種過去問【2021年理論 問4】

【電気回路】角周波数による合成リアクタンスの変化《空所問題》

 次の文章は、正弦波交流電源に接続された回路に関する記述である。文中の\(\fbox{空白個所}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
 図の回路において、電源から見た回路の合成リアクタンスをXと置く。ただし、正弦波交流電源の角周波数はωとする。

(a)\(\displaystyle \left|\dot{I_L}\right|=\left|\dot{I_C}\right|\)が成立するのはω=\(\fbox{(1)}\)のときである。ωが\(\fbox{(1)}\)のときの回路の合成インピーダンス\(\displaystyle R+jX\)及び\(\displaystyle \dot{I_R}\)を計算すると、\(\displaystyle \left|\dot{V_R}\right|\)=\(\fbox{(2)}\)となる。

(b)\(\displaystyle \frac{1}{jωC}=\frac{R}{j},jωL=j\frac{R}{2}\)のときは、jX=\(\fbox{(3)}\)であり、電流\(\displaystyle \dot{I_R}\)は\(\displaystyle \dot{I_R}\)=\(\fbox{(4)}\)となる。\(\displaystyle \dot{I_R}\)が\(\fbox{(4)}\)のときの回路が消費する有効電力は\(\fbox{(5)}\)となる。   

[問4の解答群]
(イ)\(\displaystyle jR\)  (ロ)\(\displaystyle \sqrt{LC}\)    (ハ)0 

(ニ)\(\displaystyle \frac{\left|\dot{E}\right|^2}{2R}\) (ホ)\(\displaystyle j\frac{R}{2}\)     (ヘ)\(\displaystyle \frac{\left|\dot{E}\right|^2}{3R}\)

(ト)\(\displaystyle \left|\dot{E}\right|\)  (チ)\(\displaystyle \frac{\dot{E}}{\sqrt3R}e^{-j\frac{\pi}{3}}\) (リ)\(\displaystyle \frac{\dot{E}}{\sqrt2R}e^{-j\frac{\pi}{4}}\)

(ヌ)\(\displaystyle \frac{\left|\dot{E}\right|^2}{5R}\) (ル)\(\displaystyle \frac{\dot{E}}{\sqrt5R}e^{-j\frac{\pi}{6}}\) (ヲ)\(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{LC}}\)

(ワ)\(\displaystyle \frac{1}{LC}\)  (カ)\(\displaystyle \frac{\left|\dot{E}\right|^2}{2}\)    (ヨ)\(\displaystyle j2R\)

解答と解説はこちら

解答

(1):(ヲ)
(2):(ハ)
(3):(イ)
(4):(リ)
(5):(ニ)

解説

(a)\(\displaystyle \left|\dot{I_L}\right|=\left|\dot{I_C}\right|\)が成立するのは

\(\displaystyle ωL=\frac{1}{ωC}\)

\(\displaystyle ω^2=\frac{1}{LC}\)

ω=\(\frac{1}{\sqrt{LC}}\)のときである。ωが\(\frac{1}{\sqrt{LC}}\)のときの回路の合成インピーダンス\(\displaystyle R+jX\)及び\(\displaystyle \dot{I_R}\)を計算すると、

\(\displaystyle R+jX=R+\frac{jωL\frac{1}{jωC}}{jωL+\frac{1}{jωC}}\)

\(\displaystyle ωL=\frac{1}{ωC}\)であるので

\(\displaystyle R+jX=R+\frac{jωL(-jωL)}{jωL-jωL}\)

\(\displaystyle =R-j\frac{(ωL)^2}{ωL-ωL}\)

\(\displaystyle =R-j\frac{(ωL)^2}{0}⇒∞\)

合成リアクタンスXは∞となり、コンデンサCとコイルLは開放されているとみなされる。

\(\displaystyle \dot{I_R}=\frac{E}{R+jX}\)

\(\displaystyle \dot{I_R}=\frac{E}{∞}⇒0\)

\(\displaystyle \dot{V_R}=R\dot{I_R}=0\)

\(\displaystyle \left|\dot{V_R}\right|\)=\(\fbox{0}\)となる。

(b)\(\displaystyle \frac{1}{jωC}=\frac{R}{j},jωL=j\frac{R}{2}\)のときは、

\(\displaystyle jX=\frac{jωL\frac{1}{jωC}}{jωL+\frac{1}{jωC}}\)

\(\displaystyle =\frac{j\frac{R}{2}\frac{R}{j}}{j\frac{R}{2}+\frac{R}{j}}\)

\(\displaystyle =\frac{\frac{R^2}{2}}{\frac{-R+2R}{2j}}\)

\(\displaystyle =j\frac{R^2}{R}=jR\)

jX=\(\fbox{jR}\)であり、電流\(\displaystyle \dot{I_R}\)は

\(\displaystyle \dot{I_R}=\frac{E}{R+jR}\)

\(\displaystyle =\frac{E}{\sqrt2Re^{j\frac{\pi}{4}}}\)

\(\displaystyle =\frac{E}{\sqrt2R}e^{-j\frac{\pi}{4}}\)

\(\displaystyle \dot{I_R}=\frac{E}{\sqrt2R}e^{-j\frac{\pi}{4}}\)となる。\(\displaystyle \dot{I_R}\)が\(\displaystyle \frac{E}{\sqrt2R}e^{-j\frac{\pi}{4}}\)のときの回路が消費する有効電力は

\(\displaystyle P=E|I_R|cos-\frac{\pi}{4}\)

\(\displaystyle =E\frac{E}{\sqrt2R}cos-\frac{\pi}{4}\)

\(\displaystyle =E\frac{E}{\sqrt2R}\frac{1}{\sqrt2}\)

\(\displaystyle =\frac{E^2}{2R}\)

\(\displaystyle \frac{E^2}{2R}\)となる。