電験3種過去問【2016年理論 問1】

【電磁気】点電荷がつくる電位の平面分布《計算問題》

 真空中において、図のようにx軸上で距離3d[m]隔てた点A(2d,0)、点B(-d,0)にそれぞれ2Q[C]、-Q[C]の点電荷が置かれている。 xy平面上で電位が0Vとなる等電位線を表す図として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。

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解答

(4)

解説

 真空中に置かれた点電荷Q[C]が、r[m]はなれた点につくる電位V[V]は、真空の誘電率をε0とするとV=Q/(4πε0r)で与えられる。

 いま、点Aに置かれた電荷2Q[C]がつくる電位VA[V]はxy平面上に、次式で与えられる。

 VA=2Q/[4πε0√{(x-2d)2+y2}][V]

 また、点Bに置かれた電荷-Q[C]がつくる電位VB[V]はxy平面上に、次式で与えられる。

 VB=-Q/[4πε0√{(x+d)2+y2}][V]

 題意より、VA+VB=0となる条件は、

 2Q/[4πε0√{(x-2d)2+y2}]-Q/[4πε0√{(x+d)2+y2}]=0

 2Q/[4πε0√{(x-2d)2+y2}]=Q/[4πε0√{(x+d)2+y2}]

 2/√{(x-2d)2+y2}=1/√{(x+d)2+y2}

 22/{(x-2d)2+y2}=12/{(x+d)2+y2}

 4{(x+d)2+y2}={(x-2d)2+y2)}

 4(x2+2xd+d2+y2)=x2-4xd+4d2+y2

 3x2+12xd+3y2=0

 3(x2+4xd+y2)=0

 x2+4xd+y2=0

 (x+2d)2-(2d)2+y2=0

 (x+2d)2+y2=(2d)2

 つまり、中心が(-2d,0)で半径が2dの円グラフとなる。(4)が正しい。