電験３種過去問【2016年理論 問1】

解答

（４）

解説

　真空中に置かれた点電荷Q[C]が、r[ｍ]はなれた点につくる電位V[V]は、真空の誘電率を\(\epsilon_0\)とすると

\(\displaystyle V=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{r}\) [V]

で与えられる。

　いま、点Aに置かれた電荷2Q[C]がつくる電位V_A[V]はｘｙ平面上に、次式で与えられる。

\(\displaystyle V_A=\frac{2Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x-2d)^2+y^2}}\) [V]

　また、点Bに置かれた電荷-Q[C]がつくる電位V_B[V]はｘｙ平面上に、次式で与えられる。

\(\displaystyle V_B=\frac{-Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}\) [V]

　題意より、V_A+V_B＝0となる条件は、

\(\displaystyle \frac{2Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x-2d)^2+y^2}}-\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}=0\)

\(\displaystyle \frac{2Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x-2d)^2+y^2}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}\)

\(\displaystyle \frac{2}{\sqrt{(x-2d)^2+y^2}}=\frac{1}{\sqrt{(x+d)^2+y^2}}\)

\(\displaystyle \frac{4}{(x-2d)^2+y^2}=\frac{1}{(x+d)^2+y^2}\)

\(\displaystyle 4(x+d)^2+4y^2=(x-2d)^2+y^2\)

\(\displaystyle 4x^2+8dx+4d^2+4y^2=x^2-4dx+4d^2+y^2\)

\(\displaystyle 3x^2+12dx+3y^2=0\)

\(\displaystyle x^2+4dx+y^2=0\)

\(\displaystyle (x+2d)^2-4d^2+y^2=0\)

\(\displaystyle (x+2d)^2+y^2=(2d)^2\)

　つまり、中心が（-2d,0）で半径が2ｄの円グラフとなる。（４）が正しい。