電験3種過去問【2012年理論 問2】

【電磁気】平行平板コンデンサの誘電体《正誤問題》

 極板A-B間が誘電率ε0[F/m]の空気で満たされている平行平板コンデンサの空気ギャップ長をd[m]、静電容量をC0[F]とし、極板間の直流電圧をV0[V]とする。極板と同じ形状と面積を持ち、厚さがd/4[m]、誘電率ε1[F/m]の個体誘電体(ε1>ε0)を図に示す位置P-Q間に極板と平行に挿入すると、コンデンサ内の電位分布は変化し、静電容量はC1[F]に変化した。このとき、誤っているものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
 ただし、空気の誘電率をε0、コンデンサの端効果は無視できるものとし、直流電圧V0[V]は一定とする。

(1)位置Pの電位は、個体誘電体を挿入する前の値よりも低下する。

(2)位置Qの電位は、個体誘電体を挿入する前の値よりも上昇する。

(3)静電容量C1[F]は、C0[F]よりも大きくなる。

(4)個体誘電体を導体に変えた場合、位置Pの電位は個体誘電体又は導体を挿入する前の値よりも上昇する。

(5)個体誘電体を導体に変えた場合の静電容量C2[F]は、C0[F]よりも大きくなる。

解答と解説はこちら

解答

(4)

解説

 静電容量C0は、極板の面積をS[m2]とすると、C0=ε0S/dとなる。

 静電容量C1は、空気ギャップ部の静電容量CA=ε0S/(3/4d)、個体誘電体部の静電容量CS=ε1S/(1/4d)とであるので、C1=CACS/(CA+CS)となる。すなわち、

 C1=16ε0ε1S2/3d2/{(4ε0S+12ε1S)/3d}
  =16ε0ε1S2/{4Sd(ε0+3ε1)}
  =4ε0ε1S/{d(ε0+3ε1)}
  =(ε0S/d)4ε1/(ε0+3ε1)
  =4ε1/(ε0+3ε1)C0 

 C0の4ε1/(ε0+3ε1)の係数部分は(ε1>ε0)であるため、分母が分子より小さくなり、1より大きい。すなわち、(3)静電容量C1[F]は、C0[F]よりも大きくなる。

 静電容量C2は、空気ギャップ部の静電容量CA=ε0S/(3/4d)、個体誘電体部の静電容量CS=ε1S/(1/4d)とであるので、C1=CACS/(CA+CS)となる。すなわち、

 C2=ε0S/(3/4d)=(ε0S/d)×(4/3)=4/3×C0 

 C0の4ε1/(ε0+3ε1)の係数部分が4/3であるため、(5)静電容量C2[F]は、C0[F]よりも大きくなる。

 コンデンサ内部の電位は、内部の誘電体が同一であれば、極板AのV0[V]から極板Bの接地極0[V]まで比例して現象する。

 個体誘電体を挿入したとき、コンデンサ内部の電荷密度Dは一定であるので、それぞれの誘電体中の電界の強さEはE=D/εで与えられ、(ε1>ε0)であるため個体誘電体部の電界の強さは、空気ギャップ部より弱くなる。コンデンサ内部の電位VはV=Edとなるので、直流電圧V0[V]は一定であるから、電位の傾きは個体誘電体挿入前と比べて、空気ギャップ部は急峻になり、個体誘電体部はなだらかになる。従って、(1)位置Pでは電位が以前より減少しており、(2)位置Qでは以前より電位が上昇する。

 個体誘電体が導体に変わった場合、導体部では電位は一定であり、以前よりギャップdが狭い分、電位の傾きは急峻になっている。従って(4)位置Pの電位は導体挿入前より減少する。