電験３種過去問【2021年理論 問7】

解答

（４）

解説

回路に流れる電流Ｉ[Ａ]は

$\displaystyle I=\frac{nE}{R+nr}\text{[A]}$

可変抵抗Ｒ[Ω]で消費される電力Ｐ[Ｗ]は

$\displaystyle P=I^2R=\left(\frac{nE}{R+nr}\right)^2R$

$\displaystyle =\frac{R(nE)^2}{(R+nr)^2}$

$\displaystyle =\frac{R(nE)^2}{R^2+2Rnr+(nr)^2}$

$\displaystyle =\frac{(nE)^2}{R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}}$

上式の分母が最小になるとき、P[W]は最大となる。

つまり、分母をRの変数となる関数f(R)とおくと、

関数f(R)が最小になるとき、P[W]は最大となる。

$\displaystyle f(R)=R+2nr+\frac{(nr)^2}{R}$

$\displaystyle R=(\sqrt{R})^2$として変形すると、

$\displaystyle f(R)=(\sqrt{R})^2+2nr+\left(\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2$

$\displaystyle (a-b)^2$の形となる数式に変形すると、

$\displaystyle f(R)=\left(\sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2+4nr$

$\displaystyle \left(\sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}\right)^2=0$となるとき、関数f(R)が最小になるので

$\displaystyle \sqrt{R}-\frac{nr}{\sqrt{R}}=0$で、関数f(R)は最小となる。つまり

$\displaystyle \sqrt{R}=\frac{nr}{\sqrt{R}}$

$\displaystyle R=nr$

つまり、R＝nr[Ω]のとき、消費電力P[W]は最大となる。このときの電流I[A]は

$\displaystyle I=\frac{nE}{R+nr}\text{[A]}$

上式に、R＝nr[Ω]を代入して

$\displaystyle I=\frac{nE}{nr+nr}=\frac{nE}{2nr}=\frac{E}{2r}\text{[A]}$