電験3種過去問【2021年理論 問14】

【電気計測】ブリッジ回路の誤差率《計算問題》

 図のブリッジ回路を用いて、未知の抵抗の値Rx[Ω]を推定したい。可変抵抗R3を調整して、検流計に電流が流れない状態を探し、平衡条件を満足するRx[Ω]の値を求める。求めた値が真値と異なる原因が、Rk(k=1,2,3)の真値からの誤差ΔRkのみである場合を考え、それらの誤差率\(\displaystyle ε_k=\frac{ΔR_k}{R_k}\)が次の値であったとき、Rxの誤差率として、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。 
ε1=0.01, ε2=-0.01, ε3=0.02

(1)0.0001
(2)0.01
(3)0.02
(4)0.03
(5)0.04

解答と解説はこちら

解答

(5)

解説

ブリッジ回路の検流計に電流が流れない、平衡条件を満足するには

\(\displaystyle R_2 R_x=R_1 R_3\)

となる。つまり、平衡条件を満足するときの未知の抵抗Rx[Ω]は、

\(\displaystyle R_x=\frac{R_1 R_3}{R_2}\)

題意より、既知抵抗R1、R2、R3の各誤差は\(\displaystyle ΔR_1=ε_1 R_1\)、\(\displaystyle ΔR_2=ε_2 R_2\)、\(\displaystyle ΔR_3=ε_3 R_3\)となる。

未知抵抗Rx[Ω]の誤差は、既知抵抗R1、R2、R3の各誤差からの影響のみであるので、誤差を含めた未知抵抗の値R[Ω]は

\(\displaystyle R_{xε}=\frac{(R_1+ΔR_1)(R_3+ΔR_3)}{R_2+ΔR_2}\)

\(\displaystyle =\frac{(R_1+ε_1 R_1)(R_3+ε_3 R_3)}{R_2+ε_2 R_2}\)

\(\displaystyle =\frac{(R_1(1+ε_1))(R_3(1+ε_3))}{R_2(1+ε_2)}\)

\(\displaystyle =\frac{R_1 R_3}{R_2}\frac{(1+ε_1)(1+ε_3)}{1+ε_2}\)

\(\displaystyle =R_x\frac{(1+ε_1)(1+ε_3)}{1+ε_2}\)

したがって、未知抵抗の誤差率\(\displaystyle ε_x\)は

\(\displaystyle ε_x=\frac{R_{xε} -R_x}{R_x}\)

\(\displaystyle =\frac{R_x\frac{(1+ε_1)(1+ε_3)}{1+ε_2} -R_x}{R_x}\)

\(\displaystyle =\frac{R_x(\frac{(1+ε_1)(1+ε_3)}{1+ε_2} -1)}{R_x}\)

\(\displaystyle =\frac{(1+ε_1)(1+ε_3)}{1+ε_2} -1\)

\(\displaystyle =\frac{(1+0.01)(1+0.02)}{1-0.01}-1\)

\(\displaystyle =0.041\)