電験3種過去問【2013年理論 問4】

【電磁気】線導体に生じる力《計算問題》

 図のように、透磁率μ0[H/m]の真空中に無限に長い直線状導体Aと1辺a[m]の正方形のループ状導体Bが距離d[m]を隔てて置かれている。AとBはxz平面上にあり、Aはz軸と平行、Bの各辺はx軸又はz軸と平行である。A,Bには直流電流IA[A]、IB[A]が、それぞれ図示する方向に流れている。このとき、Bに加わる電磁力として、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
 なお、xyz座標の定義は、破線の枠内の図で示した通りとする。 

(1)0[N]つまり電磁力は生じない

(2)μ0IAIBa2/{2πd(a+d)}[N]の+x方向の力

(3)μ0IAIBa2/{2πd(a+d)}[N]の-x方向の力

(4)μ0IAIBa(a+2d)/{2πd(a+d)}[N]の+x方向の力

(5)μ0IAIBa(a+2d)/{2πd(a+d)}[N]の-x方向の力

解答と解説はこちら

解答

(2)

解説

 磁束密度B[Wb/m2]の磁界を垂直に横切る、長さL[m]の導線に、I[A]の電流が流れているとき、導線には

 F=BLI[N] …(1)

の力が働く。力の方向はフレミングの左手の法則に従う。

 いまAの無限長直線状導体に電流IA[A]が流れているとき、この導体からr[m]離れた点に発生する磁束密度B[Wb/m2]は

 B=μ0IA/(2πa) …(2)

となる。磁束の向きはアンペアの右ねじの法則に従い、xz平面上の導体Bに対しては、画面の奥から手前の方向(-y方向)となる。

 (2)式からわかるように、導体Aによって発生する磁束密度は、導体Aから離れるにつれて弱くなる。いま、導体Bのx方向の2辺に関しては、導体Aにより生じる磁束密度は一様に弱まっていくため、各辺に発生する力は互いに打ち消しあう。このため導体Bのz方向の2辺に生じる力のみ考えればよい。

 導体Aからd[m]離れた、導体Bのz方向の一辺に働く力をFd[N]とすると、導体Aによりd[m]離れた点に生じる磁束密度Bd[Wb/m2]は(2)式よりBd0IA/(2πd)である。(1)式より、

 Fd=BdaIB=μ0IAIBa/(2πd)[N] …(3)

 一方、導体Aからa+d[m]離れた、導体Bのz方向の一辺に働く力をFa+d[N]とすると、導体Aによりa+d[m]離れた点に生じる磁束密度Ba+d[Wb/m2]は(2)式よりBa+d0IA/{2π(a+d)}である。(1)式より、

 Fa+d=Ba+daIB=μ0IAIBa/{2π(a+d)}[N] …(4)

 フレミングの左手の法則により、式(3)の力はx方向に働き、式(4)の力は-x方向に働く。式(3)と式(4)を比べると、分子は等しく分母は(4)が大きいため、(3)>(4)でありx方向に力が働く。x方向の力を正とすると導体Bに働く力FB[N]は 

 FB=μ0IAIBa/(2πd)-μ0IAIBa/{2π(a+d)}
  ={μ0IAIBa(a+d)-μ0IAIBad}/{2πd(a+d)}
  ={μ0IAIBa(a+d-d)}/{2πd(a+d)}
  =μ0IAIBa2/{2πd(a+d)}