電験３種過去問【2021年機械 問13】

解答

（２）

解説

　図の回路において、入力電圧に対する出力電圧を、一次遅れ要素の周波数伝達関数として表したとき、折れ点角周波数ω_cは$\fbox{100}$rad/sである。ゲイン特性は、ω_cよりも十分低い角周波数ではほぼ一定の$\fbox{0}$dBであり、ω_cよりも十分高い角周波数では、角周波数が10倍になるごとに$\fbox{20}$dB減少する直線となる。また、位相特性は、ω_cよりも十分高い角周波数でほぼ一定の$\fbox{90}$°の遅れとなる。

（ア）折れ点角周波数ω_c[rad/s]は、時定数τの逆数となる。

$\displaystyle ω_c=\frac{1}{τ}$

一次遅れ要素の時定数$\displaystyle τ=RC$であるので

$\displaystyle ω_c=\frac{1}{RC}=\frac{1}{10\times 0.001}=100$

 

入力電圧を$\displaystyle \dot{E}_i(jω)$、出力電圧を$\displaystyle \dot{E}_o(jω)$とすると、

$\displaystyle \dot{E}_o(jω)=\frac{\frac{1}{jωC}}{R+\frac{1}{jωC}}\dot{E}_i(jω)$

$\displaystyle =\frac{1}{1+jωCR}\dot{E}_i(jω)$

周波数伝達関数G(jω)は以下で与えられるので、

$\displaystyle G(jω)=\frac{\dot{E}_o(jω)}{\dot{E}_i(jω)}$

$\displaystyle =\frac{1}{1+jωCR}$

デシベルを単位としたゲインG[dB]は以下で与えられる。

$\displaystyle G=20\log_{10}|G(jω)|$

したがって、

$\displaystyle =20\log_{10}|\frac{1}{1+jωCR}|$

$\displaystyle =20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1^2+(ωCR)^2}}$

$\displaystyle =20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(ωCR)^2}}$

ここで、時定数$\displaystyle τ=RC$であるので

$\displaystyle G=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(ωτ)^2}}$[dB]

（イ）ω_cよりも十分低い角周波数ω＝0では

$\displaystyle G=20\log_{10}1=0$[dB]

（ウ）$\displaystyle ω_c=\frac{1}{τ}$よりも十分高い角周波数$\displaystyle ω_{10}=\frac{10}{τ}$では

$\displaystyle G_{10}=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(ωτ)^2}}$

$\displaystyle =20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(10)^2}}=-20$[dB]

その10倍の角周波数$\displaystyle 10ω_{10}=\frac{100}{τ}$では

$\displaystyle G_{100}=20\log_{10}\frac{1}{\sqrt{1+(100)^2}}=-40$[dB]

角周波数ωは10倍になるごとに20dB減少する。

 

（エ）周波数伝達関数G(jω)の位相角θは

$\displaystyle G(jω)=\frac{1}{1+jωCR}$

$\displaystyle =\frac{1-jωCR}{(1+jωCR)(1-jωCR)}$

$\displaystyle =\frac{1-jωCR}{1+(ωCR)^2}$

$\displaystyle =\frac{1}{1+(ωCR)^2}(1-jωCR)$

であるので、$\displaystyle 1-jωCR$の複素数部について考えると

$\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+(ωCR)^2}}$

ω→∞とすると、

$\displaystyle \cos\theta=\frac{1}{\sqrt{1+(ωCR)^2}}≒\frac{1}{∞}=0$

$\displaystyle \theta=\cos^{-1}0=±90°$

$\displaystyle 1-jωCR$の複素数は遅れであるので

$\displaystyle \theta=-90°$