電験3種過去問【2021年電力 問2】

【水力発電】水圧管内の水流速と水圧計算《計算問題》

 図で、水圧管内を水が充満して流れている。断面Aでは、内径2.2m、流速3m/s、圧力24kPaである。このとき、断面Aとの落差が30m、内径2mの断面Bにおける流速[m/s]と水圧[kPa]の最も近い組合せとして、正しいものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。
 ただし、重力加速度は9.8m/s2、水の密度は1000kg/m3、円周率は3.14とする。

  流速[m/s] 水圧[kPa]
(1) 3.0 318
(2) 3.0 316
(3) 3.6 316
(4) 3.6 310
(5) 4.0 300

解答と解説はこちら

解答

(3)

解説

流体力学の連続の式より、分岐のない流路において、任意の点の流量は等しい。

A点の流量を\(\displaystyle Q_A\text{[㎥/s]}\)とすると(\(\displaystyle v_A\text{[m/s]}\)及び\(\displaystyle S_A\text{[㎡]}\)はそれぞれA点での速度と断面積)

\(\displaystyle Q_A=v_A S_A\)

B点の流量を\(\displaystyle Q_B\text{[㎥/s]}\)とすると(\(\displaystyle v_B\text{[m/s]}\)及び\(\displaystyle S_B\text{[㎡]}\)はそれぞれB点での速度と断面積)

\(\displaystyle Q_B=v_B S_B\)

流体力学の連続の式より

\(\displaystyle Q_A=Q_B\)

\(\displaystyle ∴v_A S_A=v_B S_B\)

\(\displaystyle ∴v_B=\frac{v_A S_A}{S_B}\)

A点及びB点の数値を代入すると

\(\displaystyle v_B=\frac{3\times 1.1^2\times3.14}{1^2\times3.14}=3.6\text{[m/s]}\)

よって、B点の流速\(\displaystyle v_B=3.6\text{[m/s]}\)である。

全水頭H[m]は、ベルヌーイの定理から、

\(\displaystyle H=h+\frac{p}{ρg}+\frac{v^2}{2g}[m]\)

ここで、\(\displaystyle h\)は位置水頭[m]、\(\displaystyle \frac{p}{ρg}\)は圧力水頭[m]、\(\displaystyle \frac{v^2}{2g}\)は速度水頭[m]である。

また、重力加速度はg=9.8[m/s2]、水の密度はρ=1000[kg/m3]、圧力p[Pa]、流速v[m/s]である。

A点での流体エネルギー全水頭\(\displaystyle H_A\)は

\(\displaystyle H_A=h_A+\frac{p_A}{ρg}+\frac{v_A^2}{2g}\text{[m]}\)

B点での流体エネルギー全水頭\(\displaystyle H_B\)は

\(\displaystyle H_B=h_B+\frac{p_B}{ρg}+\frac{v_B^2}{2g}\text{[m]}\)

エネルギー保存の法則より、

\(\displaystyle H_A=H_B\)

\(\displaystyle ∴h_A+\frac{p_A}{ρg}+\frac{v_A^2}{2g}=h_B+\frac{p_B}{ρg}+\frac{v_B^2}{2g}\)

\(\displaystyle ∴\frac{p_B}{ρg}=h_A-h_B+\frac{p_A}{ρg}+\frac{v_A^2}{2g}-\frac{v_B^2}{2g}\)

\(\displaystyle ∴p_B=ρg(h_A-h_B)+p_A+ρ\left(\frac{v_A^2-v_B^2}{2}\right)\)

全水頭HB[m]の位置水頭を基準とすると(hB=0[m])

\(\displaystyle p_B=1000\times9.8(30-0)+24\times10^3+1000\left(\frac{3^2-3.6^2}{2}\right)\)

\(\displaystyle p_B=294\times10^3+24\times10^3-1.98\times10^3\)

\(\displaystyle p_B=316\times10^3\text{[Pa]}\)

よって、B点の水圧\(\displaystyle p_B=316\text{[kPa]}\)である。