電験2種過去問【2021年理論 問1】

【電磁気】二種類の誘電体を有する平行平板コンデンサ《空所問題》

 次の文章は、平行平板コンデンサに関する記述である。文中の\(\fbox{空所欄}\)に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。
 図のように、平行平板コンデンサの極板間に二種類の誘電体1、誘電体2が挿入されている。各誘電体の誘電率はε1、ε2であり、厚さはともにdである。極板の面積はSであり、端効果は無視できるものとする。
 コンデンサの極板間には直流電圧が印加されており、各極板に単位面積当たり±σの電荷が図に示すように現れている。このときの誘電体1中の電束密度の大きさは\(\fbox{(1)}\)、電界の大きさは\(\fbox{(2)}\)と表される。同様に誘電他2中の電界の大きさを求めると、コンデンサの極板間に印加された電圧は\(\fbox{(3)}\)と表すことがきる。
 コンデンサ全体に蓄えられた電界のエネルギーは\(\fbox{(4)}\)と表される。誘電体1の領域に蓄えられた電界のエネルギーが誘電体2の領域に蓄えられた電界のエネルギーよりも大きい場合、誘電率ε1とε2との間には\(\fbox{(5)}\)の関係が成立する。

[問1の解答群]

(イ)\( \displaystyle \frac{ε_{1}σ}{ε_{1}+ε_{2}}\) (ロ)\( \displaystyle \frac{(ε_{1}+ε_{2})σd}{ε_{1}ε_{2}}\) (ハ)\( \displaystyle \frac{σ}{ε_{1}}\) (ニ)\( \displaystyle ε_{1}>ε_{2}\)

(ホ)\( \displaystyle ε_{1}ε_{2}=0\) (ヘ)\( \displaystyle ε_{1}<ε_{2}\) (ト)\( \displaystyle \frac{σ}{ε_{1}+ε_{2}}\) (チ)\( \displaystyle \frac{(ε_{1}+ε_{2})σ^2S}{2d}\)

(リ)\( \displaystyle \frac{ε_{1}ε_{2}σd}{ε_{1}+ε_{2}}\) (ヌ)\( \displaystyle \frac{(ε_{1}+ε_{2})σ^2dS}{2ε_{1}ε_{2}}\) (ル)\( \displaystyle 2σ\) (ヲ)\( \displaystyle \frac{(ε_{1}+ε_{2})σ}{d}\)

(ワ)\( \displaystyle \frac{ε_{1}ε_{2}σ^2dS}{2(ε_{1}+ε_{2})}\) (カ)\( \displaystyle σ\) (ヨ)\( \displaystyle ε_{1}σ\)

解答と解説はこちら

解答

(1):(カ)
(2):(ハ)
(3):(ロ)
(4):(ヌ)
(5):(ヘ)

解説

Q[C]の電荷から、Q[C]の電束が発生する。単位面積当たりの電束が電束密度Dであるので、

単位面積当たり±σの電荷が現れているときの誘電体1中の電束密度Dの大きさは\(\displaystyle σ\) 、電界の大きさは\(\displaystyle E_1=\frac{D}{ε_1}=\frac{σ}{ε_1}\)と表される。

同様に誘電他2中の電界の大きさを求めると、\(\displaystyle E_2=\frac{σ}{ε_2}\)と表される。

コンデンサの極板間に印加された電圧は

\(\displaystyle V=V_1+V_2=E_1d+E_2d\)

\(\displaystyle =\frac{σd}{ε_1}+\frac{σd}{ε_2}=\frac{(ε_{1}+ε_{2})σd}{ε_{1}ε_{2}}\)

と表すことがきる。

コンデンサ全体に蓄えられた電界のエネルギーは

\(\displaystyle W=\frac{1}{2}CV^2=\frac{1}{2}QV=\frac{1}{2}σSV\)

\(\displaystyle =\frac{1}{2}σS\frac{(ε_{1}+ε_{2})σd}{ε_{1}ε_{2}}=\frac{(ε_{1}+ε_{2})σ^2dS}{2ε_{1}ε_{2}}\)

と表される。

誘電体1の領域に蓄えられた電界のエネルギーは

\( \displaystyle W_1=\frac{1}{2}σSV_1=\frac{1}{2}σSE_1d=\frac{1}{2}σS\frac{σ}{ε_1}d=\frac{σ^2dS}{2ε_1}\)

誘電体2の領域に蓄えられた電界のエネルギーは

\( \displaystyle W_2=\frac{1}{2}σSV_2=\frac{1}{2}σSE_2d=\frac{1}{2}σS\frac{σ}{ε_2}d=\frac{σ^2dS}{2ε_2}\)

\( \displaystyle W_1\)が\( \displaystyle W_2\)よりも大きい場合、

誘電率ε1とε2との間には\( \displaystyle ε_{1}<ε_{2}\)の関係が成立する。