電験２種過去問【2020年理論 問4】

解答

解説

　t≧0において、回路に電流i(t)が流れるとすると、

$\displaystyle ri(t)+\frac{1}{C}\int{i(t)}dt=E$

ここで、Cの電荷をqとすれば、

$\displaystyle i(t)=\frac{dq}{dt},q=\int{i(t)}dt$であるので、

$\displaystyle r\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E$

q=Cv(t)であるので、

$\displaystyle r\frac{dCv(t)}{dt}+\frac{1}{C}Cv(t)=E$

つまり、コンデンサの電圧v(t)の微分方程式は

$(ﾆ)\displaystyle E=rC\frac{d}{dt}v(t)+v(t)$で与えられる。

一階線形微分方程式$\displaystyle \frac{dy}{dx}+py=k$の一般解は$\displaystyle y=Ae^{-px}+\frac{k}{p}$で与えられるので、上式を展開し一般解を求めると

$\displaystyle \frac{dv(t)}{dt}+\frac{1}{rC}v(t)=\frac{E}{rC}$

$\displaystyle v(t)=Ae^{-\frac{1}{rC}t}+\frac{\frac{E}{rC}}{\frac{1}{rC}}$

$\displaystyle v(t)=Ae^{-\frac{1}{rC}t}+E$

$\displaystyle v(t)=Ae^{-\frac{1}{\tau}t}+E$

回路の時定数τは、τ＝$\fbox{(ﾇ)rC}$である。

題意より、v(t)の初期値をv(0)、定常状態の値をv(∞)を用いて不定定数Aを求める。

$\displaystyle v(0)=A+E$

∴$\displaystyle A=v(0)-E$

また、$\displaystyle v(\infty)=E$であるので

$\displaystyle A=v(0)-v(\infty)$

したがって、一般解は

$\displaystyle v(t)=Ae^{-\frac{t}{\tau}}+E$

$\displaystyle =(v(0)-v(\infty))e^{-\frac{t}{\tau}}+v(\infty)$

$\displaystyle =v(\infty)-v(\infty)e^{-\frac{t}{\tau}}+v(0)e^{-\frac{t}{\tau}}$

つまり

$\displaystyle v(t)=v(\infty)\left(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\right)+v(0)e^{-\frac{t}{\tau}}$　…①

で与えらえる。

　コンデンサの電圧v(t)の初期値がv(0)=0のとき、v(T)とv(2T)の比は①式より

$\displaystyle \frac{v(2T)}{v(T)}=\frac{v(\infty)\left(1-e^{-\frac{2T}{\tau}}\right)+v(0)e^{-\frac{2T}{\tau}}}{v(\infty)\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)+v(0)e^{-\frac{T}{\tau}}}$

$\displaystyle =\frac{\left(1-e^{-\frac{2T}{\tau}}\right)}{\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)}$

$\displaystyle =\frac{\left(1+e^{-\frac{T}{\tau}}\right)\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)}{\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)}$

したがって、

$\displaystyle \frac{v(2T)}{v(T)}=1+e^{-\frac{T}{\tau}}$　…②

となる。②式より$e^{-T/\tau}$を求め、これをt=Tとおいた①式に代入すると、v(0)=0より、

$\displaystyle v(T)=v(\infty)\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)+v(0)e^{-\frac{T}{\tau}}$

$\displaystyle =v(\infty)\left(1-e^{-\frac{T}{\tau}}\right)$

$\displaystyle =v(\infty)\left(1-(\frac{v(2T)}{v(T)}-1)\right)$

$\displaystyle =v(\infty)\left(2-\frac{v(2T)}{v(T)}\right)$

つまり

$\displaystyle v(T)=v(\infty)\times\left(2-\frac{v(2T)}{v(T)}\right)$

となる。

この式より、v(∞)がv(T)とv(2T)の式で表すことが可能となる。