電験２種過去問【2019年理論 問2】

解答

解説

　図のように、直流と角周波数ωの正弦波交流からなる理想電圧源$e_S(t)=E+\sqrt2E\cos\omega t$と理想電流源$i_S(t)=I+\sqrt2I\cos\omega t$が接続された回路を考える。定常状態での図の電流$I_0+i_1(t)$と$v(t)=V_0+v_2(t)$を求めたい。ただし、$I_0とV_0$は直流成分を、$i_1(t)とv_2(t)$は交流成分を表し、E＞０，I＞０とする。
　回路の直流解析を行うと、重ねの理により

$I_0=(ﾜ)\displaystyle\frac{E}{2R}-\frac{I}{2}$

$V_0=(ﾙ)\displaystyle\frac{E}{2}+\frac{RI}{2}$

となる。
　次に実効値を用いて、$e_S(t),i_S(t)$の交流成分の複素表示及び$i_1(t),v_2(t)$の複素表示を、それぞれ$\dot{E},\dot{I}及び\dot{I_1},\dot{V_2}$とすると、回路の交流解析は、

$\displaystyle \dot{E}=(R+j\omega L)\dot{I_1}+\dot{V_2}$

$\displaystyle \dot{I}=-\dot{I_1}+\frac{\dot{V_2}}{\frac{-j\frac{R}{\omega C}}{R-j\frac{1}{\omega C}}}$

$\displaystyle =-\dot{I_1}+\frac{R-j\frac{1}{\omega C}}{-j\frac{R}{\omega C}}\dot{V_2}$

$\displaystyle =-\dot{I_1}+\left(\frac{1}{R}+j\omega C\right)\dot{V_2}$

であるので、
　$\small{\left[\begin{array}{c}\dot{E}\\ \dot{I}\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}(ﾘ)R+j\omega L&1\\-1&(ﾛ)\frac{1}{R}+j\omega C\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{I_1}\\ \dot{V_2}\\ \end{array}\right]}$　…①
となる。この表現は２端子対回路のHパラメータ表現に他ならない。ここで、$\displaystyle \dot{E}=R\dot{I},R=\omega L,\frac{1}{R}=\omega C$と仮定し、①式を解くと、
　$\displaystyle\small{\left[\begin{array}{c}\dot{I_1}\\ \dot{V_2}\\ \end{array}\right]=\frac{1}{(1+j)^2+1}\left[\begin{array}{cc}(ﾛ)\frac{1}{R}+j\omega C&-1\\1&(ﾘ)R+j\omega L\\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\dot{E}\\ \dot{I}\\ \end{array}\right]=\frac{1}{1+j2}\left[\begin{array}{c}j\dot{I}\\(2+j)\dot{E}\\ \end{array}\right]}$　…②
を得る。②式の結果を利用すると、

$\displaystyle \dot{V_2}=\frac{1}{1+j2}(2+j)\dot{E}$

$\displaystyle =\frac{(2+j)(1-j2)}{(1+j2)(1-j2)}\dot{E}$

$\displaystyle =\frac{4-j3}{5}\dot{E}$

となり、$\displaystyle \frac{4-j3}{5}$は、大きさ１のままで、$\displaystyle \theta=\tan^{-1}\frac{3}{4}$だけ遅れ成分を与えるので

交流電圧$v_2(t)はv_2(t)=(ｲ)\displaystyle\sqrt2E\cos\left(\omega t-\tan^{-1}\frac{3}{4}\right)$となる。