交流波形の実効値の求め方
正弦波交流電圧の実効値
正弦波交流電圧の実効値V_{rms}は
\displaystyle V_{rms}=\frac{1}{\sqrt2}E_m[V]となる。
交流電圧波形の実効値の求め方
正弦波交流電圧v=e(t)を2乗したものを周期Ｔで積分し、更にその平方根をとることで実効値Ｖrmsを求められる。
\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T}v^2dt}[V]
実効値の定義
交流波形の実効値は、直流電圧（電流）に換算した場合に、同じ電力（電熱効果または仕事）を得られるものとして定義されている。
例えば、ある定周期交流波形電圧v[V]が与えられ、抵抗RでP[W]の電力を消費している場合を考える。実効値V_{rms}[V]は、直流換算時の電圧と定義されるから、
\displaystyle P=\frac{V_{rms}^2}{R}[W] …①
また、交流波形電圧v[V]が与えられ、抵抗Rで消費される電力P[W]は、vの瞬時値を2乗した値を周期Tで積分してもとめる。
\displaystyle P=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{v^2}{R}dt[W] …②
①、②より
\displaystyle\frac{V_{rms}^2}{R}=\frac{1}{T}\int_0^T\frac{v^2}{R}dt
\displaystyle V_{rms}^2=\frac{1}{T}\int_0^Tv^2dt
\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^Tv^2dt}
正弦波交流電圧の実効値の導出
交流電圧\displaystyle e(t)=E_m\sin\omega tであるとき、その実効値\displaystyle V_{rms}は
\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_0^{T}(E_m\sin\omega t)^2dt}
\displaystyle =\sqrt{\frac{E_m^2}{T}\int_0^{T}\sin^2\omega t dt}
\displaystyle \omega t=\thetaとすると、\displaystyle T=2\piとなり
\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{E_m^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\theta}
\displaystyle \int_0^{2\pi}\sin^2\theta d\thetaは、半周期の範囲0～\piまでを積分して半周期\piで割ればよいので、
\displaystyle V_{rms}=\sqrt{\frac{E_m^2}{\pi}\int_0^{\pi}\sin^2\theta d\theta}
2倍角の公式より、
\displaystyle =E_m\sqrt{\frac{1}{\pi}\int_0^{\pi}\frac{1}{2}(1-\cos2\theta)d\theta}
\displaystyle =E_m\sqrt{\frac{1}{\pi}[\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{4}\sin2\theta]\int_0^{\pi}}
\displaystyle =E_m\sqrt{\frac{1}{2}}
\displaystyle =\frac{1}{\sqrt2}E_m[V]