電験3種過去問【2020年理論 問10】

【電気回路】CR回路の時定数《計算問題》

 図の回路のスイッチを閉じたあとの電圧v(t)の波形を考える。破線から左側にテブナンの定理を適用することで、回路の時定数[s]とv(t)の最終値[V]の組合せとして、最も近いものを次の(1)~(5)のうちから一つ選べ。 
 ただし、初めスイッチは開いており、回路は定常状態にあったとする。

  時定数[s] 最終値[V]
(1) 0.75 10
(2) 0.75 2.5
(3) 4 2.5
(4) 1 10
(5) 1 0
解答と解説はこちら

解答

(2)

解説

 テブナンの定理を用いて解く。テブナンの定理は複雑な回路網中の、任意の点に流れる電流を求めるのに適している。知りたい電流が流れる点を回路から切り離し、その間の等価電源V0を求める。また電源を短絡した状態で回路側の等価抵抗R0を求める。

 まず、題意より、1Fのコンデンサを破線部分で回路網から切り離した状態での等価電源V0[V]は

 V0=10[V]×1[Ω]/4[Ω]=2.5[V]である。

次に、等価抵抗R0[Ω]は、電源10Vを短絡すると、3Ωと1Ωの並列抵抗であるので、和分の積を使って合成抵抗を求めると R0=3×1/(3+1)=3/4=0.75[Ω] となる。

テブナンの定理を用いれば、等価電源V0[V]と等価抵抗R0[Ω]に、コンデンサC=1[F]を接続したとき、CR直列回路となる。この時の電流i(t)[A]は

 i(t)=Ae^{t/(CR0)}[A]となる。

時定数T=CR0[s]であるので、T=1×0.75=0.75[s]

またi(t)[A]の最終値を知るためにAを求めると、初期値t=0[s]、i(0)=0[A]であるので、

 i(0)=Ae^{0/(CR0)}=0[A] ∴A=0

つまり最終値i(∞)=A=0[A]となり、コンデンサには電流が流れない。つまり最初に、コンデンサを切り離して求めた等価電源と同じ電圧がかかる。

 v(∞)=V0=2.5[V]

したがって、v(t)の最終値は2.5[V]となる。