電験３種過去問【2019年機械 問5】
【同期機】三相同期電動機の入出力とトルク《空所問題》
次の文章は、星形結線の円筒形三相同期電動機の入力、出力、トルクに関する記述である。
この三相同期電動機の１相分の誘導起電力\(E\)[V]、電圧\(V\)[V]、電流\(I\)[A]、\(V\)と\(I\)の位相差を\(\theta\)[rad]としたときの１相分の入力\(P_i\)[W]は次式で表される。
$$P_i=VI\cos\theta$$
また、\(E\)と\(V\)の位相差を\(\delta\)[rad]とすると、１相分の出力\(P_o\)[W]は次式で表される。\(E\)と\(V\)の位相差\(\delta\)は\(\fbox{（ア）}\)といわれる。
$$P_o=EI\cos(\delta-\theta)=\frac{VE}{x}\fbox{（イ）}$$
ここで\(x\)[Ω]は同期リアクタンスであり、電機子巻線抵抗は無視できるものとする。
この三相同期電動機の全出力を\(P\)[W]、同期速度を\(n_s\)[min-1]とすると、トルク\(T\)[N・m]とPの関係は次式で表される。
$$P=3P_o=2\pi\frac{n_s}{60}T$$
これから、\(T\)は次式のようになる。
$$T=\frac{60}{2\pi n_s}・3P_o=\frac{60}{2\pi n_s}・\frac{3VE}{x}\fbox{（イ）}$$
以上のことから、\(\displaystyle 0≦\delta≦\frac{\pi}{2}\)の範囲において\(\delta\)が\(\fbox{（ウ）}\)なるに従って\(T\)は\(\fbox{（エ）}\)なり、理論上\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)[rad]のとき\(\fbox{（オ）}\)となる。
上記の記述中の空白箇所(ア)～(オ)に当てはまる組合せとして、正しいものを次の(1)～(5)のうちから一つ選べ。
解答
（４）が正しい
解説
上図の三相同期電動機の１相分の誘導起電力\(E\)[V]、電圧\(V\)[V]、電流\(I\)[A]、\(V\)と\(I\)の位相差を\(\theta\)[rad]としたときの１相分の入力\(P_i\)[W]は次式で表される。
\(P_i=VI\cos\theta\)
また、\(E\)と\(V\)の位相差を\(\delta\)[rad]とすると、１相分の出力\(P_o\)[W]は次式で表される。\(E\)と\(V\)の位相差\(\delta\)は（ア）負荷角といわれる。
\(P_o=EI\cos(\delta-\theta)=EI\cos(-\phi)\)
\(=EI\cos\phi\) ∵通常\(\phi\)は90°より小さい
上図より、\(\displaystyle \cos\phi=\frac{V}{x_sI}\sin\delta\)であるので、
\(\displaystyle P_o=\frac{VE}{x_s}\fbox{(ｲ)sinδ}\)
ここで\(x_s\)[Ω]は同期リアクタンスであり、電機子巻線抵抗は無視できるものとする。
全出力\(P=3P_o\)[W]は、負荷角\(\sin\delta\)に従って、\(\delta=\frac{\pi}{2}=90°\)のとき最大となる。
この三相同期電動機の全出力を\(P\)[W]、同期速度を\(n_s\)[min-1]とすると、トルク\(T\)[N・m]とPの関係は次式で表される。
\(\displaystyle P=3P_o=2\pi\frac{n_s}{60}T\)
これから、\(T\)は次式のようになる。
\(\displaystyle T=\frac{60}{2\pi n_s}・3P_o=\frac{60}{2\pi n_s}・\frac{3VE}{x_s}\fbox{(ｲ)sinδ}\)
以上のことから、\(\displaystyle 0≦\delta≦\frac{\pi}{2}\)の範囲において\(\delta\)が（ウ）大きくなるに従って\(T\)は（エ）大きくなり、理論上\(\displaystyle \frac{\pi}{2}\)[rad]のとき（オ）最大値となる。