電験２種過去問【2017年機械 問6】

解答

解説

　図のように、点光源が水平な机上面上の高さ\(h\)にあり、その鉛直角\(\theta\)方向の微小立体角\(\Delta\omega\)内を光束\(\Phi\)が通過している。ここで、点光源とは、光源から照射を受ける面までの距離に比べて、光源の大きさが無視できる程度に小さなものをいう。逆２乗の法則による照度計算は、この点光源を前提としている。
　この条件において、ある点Pの水平面照度\(E_h\)が、その点Pに対応する微小面の平均照度\(E_{av}\)であることを以下に説明する。
　まず、光源からある方向に向かう光束の単位立体角当たりの割合を\(\fbox{(ﾄ)光度}\)という。

　逆２乗の法則による机上面上の点Pの水平面照度\(E_h\)は、逆２乗の法則に従って、光度\(I\)、高さ\(h\)、鉛直角\(\theta\)を用いて表すと

　\(\displaystyle E_h=\frac{I}{l^2}\cos\theta\)

ここで、点光源からの距離\(l\)は\(\displaystyle l=\frac{h}{\cos\theta}\)であるので、

　\(\displaystyle E_h=\frac{I}{(\frac{h}{\cos\theta})^2}\cos\theta\)

　\(\displaystyle E_h=(ﾊ)\frac{I\cos^3\theta}{h^2}\)

となる。点光源の鉛直角\(\theta\)（点P）方向の光度\(I\)は、\(\Delta\omegaと\Phi\)とを用いて表すと\((ｶ)\displaystyle\frac{\Phi}{\Delta\omega}\)で求まるので、\(hと\theta\)が分かれば\(E_h\)を求めることができる。
　次に、微小立体角\(\Delta\omega\)が机上面に投影して作る微小面の面積\(\Delta A\)の平均照度\(E_{av}\)を求める。照度の定義に従えば、\(\Delta A\)の平均照度\(E_{av}\)は\((ﾖ)\displaystyle\frac{\Phi}{\Delta A}\)で表せる。

\(\Delta A\)は微小立体角\(\Delta\omega\)、高さ\(h\)、鉛直角\(\theta\)を用いて表すと

　\(\displaystyle \Delta A\cos\theta=\Delta\omega l^2\)

ここで、点光源からの距離\(l\)は\(\displaystyle l=\frac{h}{\cos\theta}\)であるので、

　\(\displaystyle \Delta A=(ﾛ)\frac{\Delta\omega h^2}{cos^3\theta}\)

となるので、これを\((ﾖ)\displaystyle\frac{\Phi}{\Delta A}\)に代入すれば\(E_{av}\)を求めることができる。
　この\(E_{av}\)を求める関係に、\(I=(ｶ)\displaystyle\frac{\Phi}{\Delta\omega}\)を代入して、\(\Phi\)、\(\Delta\omega\)を消去し、光度\(I\)を用いて表せば\(\displaystyle E_h=(ﾊ)\frac{I\cos^3\theta}{h^2}\)となる。よって、ある点の水平面照度\(E_h\)は、その点に対応する微小面の平均照度\(E_{av}\)と同一である。