電験１種過去問【2016年機械制御問4】

2016年12月1日2024年6月9日

【自動制御】現代制御におけるフィードバック制御系の解析《計算問題》

　次式で記述される制御対象について、次の問に答えよ。

\(\boldsymbol{\dot{x}}= \boldsymbol{Ax}(t)+ \boldsymbol{b}u(t) \)

\(\boldsymbol{A}= \begin{pmatrix} -1&2\\ 0&1 \end{pmatrix}, \boldsymbol{b}= \begin{pmatrix} 1\\ 1 \end{pmatrix} \)

（１）システム行列Aの固有値を計算して、u(t)=0 のとき制御対象は不安定であることを示せ。
（２）可制御性行列を計算することで、制御対象は不可制御であることを示せ。
（３）この制御対象に状態フィードバック制御 u(t)=-fx(t) を施す。係数ベクトル f を f=(f₁　f₂)として、閉ループ系のシステム行列 A–bf を求めよ。
（４）閉ループ系の特性多項式| sI–A–bf | を、f₁ と f₂ を用いて表せ。指定したい特性多項式を P(s)= | sI–A–bf | = s²+a₁s+a₀ とおく。a₀ と a₁ を、f₁ と f₂ で表せ。
（５）上記小問(4)で求めた関係式を f₁ と f₂ を求める方程式と考えるとき、この方程式が解をもつために、a₀ と a₁ が満たすべき条件を示せ。
（６）上記小問(5)で求めた関係式を用いて P(s)=s²+a₁s+a₀ の係数 a₁ を代入消去したうえで、P(s) を因数分解せよ。この結果から、制御対象を安定化できることを示せ。
（７）不安定な固有値を -2 に移動することで制御対象を安定化せよ。これを実現する状態フィードバック係数ベクトル f は無数に存在することを示せ。