電験３種過去問【2021年機械 問16】

解答

（a）:（１）
（b）:（３）

解説

（a）図１の電源電圧v(t)>0の期間においてダイオードＤは順方向バイアスとなり導通する。v(t)とv_R(t)が等しくなる電源電圧v(t)の位相をωt=θ_mとすると、出力電流i_d(t)が増加する電源電圧の位相ωtが0<ωt<θ_mの期間においては\(\fbox{vL(t)>0}\)、ωt=θ_m以降については\(\fbox{vL(t)<0}\)となる。出力電流i_d(t)は電源電圧v(t)が負となってもv(t)=0の点よりもωt=βに相当する時間だけ長く流れ続ける。すなわち、Ｌの磁気エネルギーが\(\fbox{0}\)となるωt=π+βで出力電流i_d(t)が0となる。出力電圧v_d(t)の平均値V_dは電源電圧v(t)を0～\(\fbox{π+β}\)の区間で積分して一周期である2πで除して計算でき、このときＬの電圧v_L(t)を同区間で積分すれば0となるので、V_dは抵抗Ｒの電圧v_R(t)の平均値V_Rに等しくなる。

\(\displaystyle v(t)=v_R(t)+v_L(t)\)なので、\(\displaystyle \theta_m\)で\(\displaystyle v_L(t)=0\)となる。

（b）電源電圧の実効値\(\displaystyle 100V,\beta=\frac{\pi}{6}\)のときの出力電圧v_d(t)の平均値V_d[V]を求める。

小問（a）において、出力電圧v_d(t)の平均値V_dは電源電圧v(t)を0～π+βの区間で積分して一周期である2πで除して計算できるので、

\(\displaystyle V_d=\frac{1}{2\pi}\int_0^{\pi+\beta}\sqrt2 V\sin\omega td\omega t\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\int_0^{\pi+\beta}\sin\omega td\omega t\)

※題意の\(\displaystyle \int_0^{\alpha}\sin\theta d\theta=1-\cos\alpha\)を利用して(1)式は即導出される

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\left[-\cos\omega t \right]_0^{\pi+\beta}\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\{-\cos(\pi+\beta)+\cos0\}\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\{1-\cos(\pi+\beta)\}\)　…(1)

ここで、\(\displaystyle \beta=\frac{\pi}{6}\)であるので、

\(\displaystyle \cos(\pi+\beta)=\cos\frac{7\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}\{1+\frac{\sqrt3}{2}\}\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 \times100}{2\pi}(1+\frac{\sqrt3}{2})\)

\(\displaystyle =42\)

※おまけ

(1)式を正弦の加法定理\(\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\)を用いて展開すると

\(\displaystyle V_d=\frac{\sqrt2 V}{2\pi}(1-\cos\pi\cos\beta+\sin\pi\sin\beta)\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}(1-\cos\pi\cos\beta+\sin\pi\sin\beta)\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}(1+\cos\beta)\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 V}{2\pi}(1+\cos\frac{\pi}{6})\)

\(\displaystyle =\frac{\sqrt2 \times100}{2\pi}(1+\frac{\sqrt3}{2})\)

\(\displaystyle =42\)

平均値の定義について

交流電圧e(t)の絶対値を、その周期Ｔで積分することで平均値Ｖ_aは求められます。

\(\displaystyle V_a=\frac{1}{T}\int_0^{T}|e(t)|dt\)[V]

なぜ(b)問題は、平均値の求め方の定義と違って、絶対値をとらないのでしょうか？明確にわかる方コメントをお願いします。

おそらくですが、問題中に「Ｌの電圧v_L(t)を同区間で積分すれば0となるので」と記載があるとおり、電圧値の正負を磁気エネルギーの正負としてとらえています。絶対値をとらない単に時間に対する平均値（出力電圧v_d(t)の平均値V_d）が、結果として抵抗Ｒの電圧v_R(t)の平均値V_Rに等しくなるため、平均値V_Rを導出する意図があるのだと思います。