電験３種過去問【2021年理論 問9】

解答

（１）

解説

RLC直列回路及びRLC並列回路の共振条件は、LによるインピーダンスZ_L[Ω]とCによるインピーダンスZ_C[Ω]が等しいことである。つまり、

 $\displaystyle Z_L=Z_C$

すなわち、

 $\displaystyle ωL=\frac{1}{ωC}$

$\displaystyle ω=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\displaystyle 2\pi f=\frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$

回路の電源周波数$\displaystyle f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$が成り立つとき、RLC回路は共振状態となる。

（a）上図のRLC直列回路では、回路に流れる電流$\displaystyle \dot{I}$を基準に考えると、

抵抗に掛かる電圧$\displaystyle \dot{V_R}$は、$\displaystyle \dot{I}$と同位相となる。

インダクタンスに掛かる電圧$\displaystyle \dot{V_L}$は、$\displaystyle \dot{I}$に対して90°進み位相となる。

コンデンサに掛かる電圧$\displaystyle \dot{V_C}$は、$\displaystyle \dot{I}$に対して90°遅れ位相となる。

ここで、$\displaystyle \dot{V_L}$の大きさは、

$\displaystyle V_L=Z_L I$

また、$\displaystyle \dot{V_C}$の大きさは、

$\displaystyle V_C=Z_C I$

 共振条件より、$\displaystyle Z_L=Z_C$であるので、

$\displaystyle V_L=V_C$

電源電圧$\displaystyle \dot{V}$は、各RLCに印加される電圧のベクトル和となるので

$\displaystyle \dot{V}=\dot{V_R}+\dot{V_L}+\dot{V_C}=\dot{V_R}$

（$\displaystyle \dot{V_L}$と$\displaystyle \dot{V_C}$は逆向きで同じ大きさなので打ち消しあう）

電流Iの大きさは、

$\displaystyle I=\frac{V_R}{R}=\frac{V}{R}\text{[A]}$

以上より

LとCのそれぞれの端子間電圧は、

$\displaystyle V_L=Z_L I$と$\displaystyle V_C=Z_C I$が生じていて、ともに０ではない。

LとCの端子間電圧を一括して測定すると、

$\displaystyle \dot{V_L}+\dot{V_C}＝0$となる。

（b）上図のRLC並列回路では、回路にかかる電圧$\displaystyle \dot{V}$を基準に考えると、

抵抗に流れる電流$\displaystyle \dot{I_R}$は、$\displaystyle \dot{V}$と同位相となる。

インダクタンスに流れる電流$\displaystyle \dot{I_L}$は、$\displaystyle \dot{V}$に対して90°遅れ位相となる。

コンデンサに流れる電流$\displaystyle \dot{I_C}$は、$\displaystyle \dot{V}$に対して90°進み位相となる。

ここで、$\displaystyle \dot{I_L}$の大きさは、

$\displaystyle I_L=\frac{V}{Z_L}$

また、$\displaystyle \dot{I_C}$の大きさは、

$\displaystyle I_C=\frac{V}{Z_C}$

 共振条件より、$\displaystyle Z_L=Z_C$であるので、

$\displaystyle I_L=I_C$

電源電流$\displaystyle \dot{I}$は、各RLCに流れる電流のベクトル和となるので

$\displaystyle \dot{I}=\dot{I_R}+\dot{I_L}+\dot{I_C}=\dot{I_R}$

（$\displaystyle \dot{I_L}$と$\displaystyle \dot{I_C}$は逆向きで同じ大きさなので打ち消しあう）

電流Iの大きさは、

$\displaystyle I=I_R=\frac{V}{R}\text{[A]}$

以上より

LとCのそれぞれには、

$\displaystyle I_L=\frac{V}{Z_L}$と$\displaystyle I_C=\frac{V}{Z_C}$の電流が流れる。

LとCに流れる電流を合わせて測定すると、

$\displaystyle \dot{I_L}+\dot{I_C}＝0$となる。

 

（c）上記解説(a)及び(b)より、直列RLC共振回路と並列RLC共振回路の電源に流れる電流Iは、ともに

$\displaystyle I=\frac{V}{R}\text{[A]}$

となり、等しい。