電験２種過去問【2020年機械 問5】

解答

解説

　一次及び二次巻線を施した環状鉄心において、一次巻線の巻数を\(N_1\)とする。二次巻線を開放したまま、一次巻線に供給電圧として角周波数\(\omega,実効値V_1\)の交流電圧\(v_1(t)=\sqrt{2}V_1\sin\omega t\)を加えると、この巻線に流れる\(\fbox{(ﾘ)励磁}\)電流\(i_0\)は、巻線の抵抗及び鉄損を無視すれば、位相が90°遅れるため、次式で表される。
　\(\displaystyle i_0(t)=\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\)　…①
　ここで、Zは一次巻線のインピーダンスである。
磁気回路の長さをｌ、断面積をＡ、透磁率をμ（一定）と仮定すれば、この電流\(i_0\)によって鉄心中に生じる交番磁界φは\(\fbox{(ｲ)起磁力}\)を磁気抵抗で除すことで求められ、
　\(\displaystyle \phi(t)=\frac{N_1\mu A}{l}i_0(t)\)　…②
①及び②式から、

　\(\displaystyle \phi(t)=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\)

　\(\displaystyle \phi(t)=\Phi_m\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\)　…③
ここで、\(\Phi_mは\phi(t)\)の最大値であり、

　\(\displaystyle\Phi_m=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}\)

\(\displaystyle Z=\omega L,L=\frac{\mu AN_1^2}{l}\)であるので、

　\(\displaystyle\Phi_m=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{\omega\frac{\mu AN_1^2}{l}}\)

　\(\displaystyle\Phi_m=(ﾎ)\frac{\sqrt{2}V_1}{\omega N_1}\)

　その結果、一次巻線に誘導起電力\(e_1\)が発生するが、\(e_1は\phi\)の変化を妨げる方向に誘導されたとすると、次の関係式が成り立つ。
　\(\displaystyle v_1(t)=-e_1(t)=N_1\frac{d\phi(t)}{dt}\)　…④
　③及び④式から、\(e_1(t)\)は次式となる。

\(\displaystyle e_1(t)=-N_1\frac{d\phi(t)}{dt}\)

\(\displaystyle =-N_1\Phi_m\frac{d\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}{dt}\)

\(\displaystyle =-N_1\Phi_m\frac{d\cos(\omega t)}{dt}\)　…※1

\(\displaystyle =N_1\Phi_m\omega\sin(\omega t)\)

※1:加法定理を用いるか、\(\sin(\theta-90°)=cos\theta\)は覚えておく

　\(e_1(t)=\sqrt2E_1\sin\omega t\)
ただし、\(E_1はe_1(t)\)の実効値であり、周波数をｆとすると次式となる。

　\(\displaystyle E_1=\frac{N_1\Phi_m\omega}{\sqrt2}\)

　\(\displaystyle =\frac{2\pi}{\sqrt2}fN_1\Phi_m\)

　\(\displaystyle =(ｦ)\sqrt2\pi fN_1\Phi_m\)

　実際の電力用変圧器においては、鉄心の\(\fbox{(ﾙ)飽和}\)特性とヒステリシス特性が含まれるため、鉄心の磁気特性は非直線性になり、巻線に正弦波電圧を加えたとしても電流\(i_0\)は高調波成分を含んだひずみ波となる。