電験２種過去問【2020年機械 問5】

解答

解説

　一次及び二次巻線を施した環状鉄心において、一次巻線の巻数を$N_1$とする。二次巻線を開放したまま、一次巻線に供給電圧として角周波数$\omega,実効値V_1$の交流電圧$v_1(t)=\sqrt{2}V_1\sin\omega t$を加えると、この巻線に流れる$\fbox{(ﾘ)励磁}$電流$i_0$は、巻線の抵抗及び鉄損を無視すれば、位相が90°遅れるため、次式で表される。
　$\displaystyle i_0(t)=\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$　…①
　ここで、Zは一次巻線のインピーダンスである。
磁気回路の長さをｌ、断面積をＡ、透磁率をμ（一定）と仮定すれば、この電流$i_0$によって鉄心中に生じる交番磁界φは$\fbox{(ｲ)起磁力}$を磁気抵抗で除すことで求められ、
　$\displaystyle \phi(t)=\frac{N_1\mu A}{l}i_0(t)$　…②
①及び②式から、

　$\displaystyle \phi(t)=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$

　$\displaystyle \phi(t)=\Phi_m\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)$　…③
ここで、$\Phi_mは\phi(t)$の最大値であり、

　$\displaystyle\Phi_m=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{Z}$

$\displaystyle Z=\omega L,L=\frac{\mu AN_1^2}{l}$であるので、

　$\displaystyle\Phi_m=\frac{N_1\mu A}{l}\frac{\sqrt{2}V_1}{\omega\frac{\mu AN_1^2}{l}}$

　$\displaystyle\Phi_m=(ﾎ)\frac{\sqrt{2}V_1}{\omega N_1}$

　その結果、一次巻線に誘導起電力$e_1$が発生するが、$e_1は\phi$の変化を妨げる方向に誘導されたとすると、次の関係式が成り立つ。
　$\displaystyle v_1(t)=-e_1(t)=N_1\frac{d\phi(t)}{dt}$　…④
　③及び④式から、$e_1(t)$は次式となる。

$\displaystyle e_1(t)=-N_1\frac{d\phi(t)}{dt}$

$\displaystyle =-N_1\Phi_m\frac{d\sin\left(\omega t-\frac{\pi}{2}\right)}{dt}$

$\displaystyle =-N_1\Phi_m\frac{d\cos(\omega t)}{dt}$　…※1

$\displaystyle =N_1\Phi_m\omega\sin(\omega t)$

※1:加法定理を用いるか、$\sin(\theta-90°)=cos\theta$は覚えておく

　$e_1(t)=\sqrt2E_1\sin\omega t$
ただし、$E_1はe_1(t)$の実効値であり、周波数をｆとすると次式となる。

　$\displaystyle E_1=\frac{N_1\Phi_m\omega}{\sqrt2}$

　$\displaystyle =\frac{2\pi}{\sqrt2}fN_1\Phi_m$

　$\displaystyle =(ｦ)\sqrt2\pi fN_1\Phi_m$

　実際の電力用変圧器においては、鉄心の$\fbox{(ﾙ)飽和}$特性とヒステリシス特性が含まれるため、鉄心の磁気特性は非直線性になり、巻線に正弦波電圧を加えたとしても電流$i_0$は高調波成分を含んだひずみ波となる。