電験頻出の最小値を求めるパターン

2023年9月22日2024年8月24日

電験の問題では、最大値（分母の最小値）を求める問題で、好んでこのパターンが使用されます。覚えておけばかなりの時間短縮になるので、ぜひ活用してください。

相加相乗平均比較

$a>0,b>0$では相加平均$\displaystyle \frac{a+b}{2}$は、相乗平均$\displaystyle \sqrt{ab}$より常に大きく、以下が成り立つ。等号はa=bのときに成り立つ。

$\displaystyle \frac{a+b}{2}≧\sqrt{ab}$

$\displaystyle a+b≧2\sqrt{ab}$

最小値を知りたい変数が$\displaystyle f(X)=k_1X+k_2\frac{1}{X}$の形をとるとき、

$\displaystyle a=k_1X,b=k_2\frac{1}{X}$とおくと、

$\displaystyle k_1X+k_2\frac{1}{X}≧2\sqrt{k_1k_2}$

右辺は定数となるので、$a=b$のときに等号が成立し、

$\displaystyle k_1X=k_2\frac{1}{X}$のときに$f(X)$は最小値となる。

相加相乗平均比較法の使用例

• 電験３種過去問【2021年理論 問7】（可変抵抗で消費される最大電力）
• 電験２種過去問【2020年理論 問3】（テブナンの定理を用いた最大消費電力計算）
• 電験１種過去問【2016年機械制御 問1】（巻線形誘導電動機、各種運転条件での二次入力計算）

相加相乗平均比較式の証明

$a>0,b>0$において、

$\displaystyle a+b≧2\sqrt{ab}$の両辺を2乗して

$\displaystyle (a+b)^2≧4ab$

$\displaystyle a^2-2ab+b^2≧0$

$\displaystyle (a-b)^2≧0$

したがって不等号が成り立つ。

また$a-b=0$のとき、すなわち$a=b$で等号が成り立つ。